初等整数論/ルーカス数列/基本的な関係式の証明のソースを表示

[[初等整数論/ルーカス数列|ルーカス数列]]に関する基本的な関係式の証明をここで行う。

====== 関係式 1 ======
（二次の関係式）
:<math>
\begin{align}
V_n^2-DU_n^2= & 4Q^n, \\
U_n^2-U_{n-1}U_{n+1}= & -Q^{n-1}.
\end{align}
</math>

'''証明'''<br />
<math>D=(\alpha-\beta)^2</math> より
:<math>
(\alpha^n+\beta^n)^2-(\alpha^n-\beta^n)^2=4\alpha^n\beta^n=4Q^n
</math>
となり、前の式が導かれる。後の式は
:<math>
U_n^2-U_{n-1}U_{n+1}=\frac{(\alpha^n-\beta^n)^2-(\alpha^{n-1}-\beta^{n-1})(\alpha^{n+1}-\beta^{n+1})}{(\alpha-\beta)^2}
</math>
となるところ、右辺の分子は
:<math>
=-2\alpha^n\beta^n-(-\alpha^{n-1}\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}\beta^{n-1})
=\alpha^{n-1}\beta^{n-1}(\alpha-\beta)^2=Q^{n-1}(\alpha-\beta)^2
</math>
となることから確かめられる。

====== 関係式 2 ======
（添字の加法）
:<math>
\begin{align}
2U_{m+n} = & U_m V_n+U_n V_m, \\
2Q^n U_{m-n} = & U_m V_n-U_n V_m, \\
U_{m+n} = & U_m U_{n+1}-QU_{m-1} U_n, \\
2V_{m+n} = & V_m V_n + DU_m U_n.
\end{align}
</math>

'''証明'''<br />
:<math>
\begin{align}
U_m V_n+U_n V_m= & \frac{(\alpha^m-\beta^m)(\alpha^n+\beta^n)+(\alpha^n-\beta^n)(\alpha^m+\beta^m)}{\alpha-\beta} \\
= & \frac{(\alpha^{m+n}-\beta^{m+n}+\alpha^m\beta^n-\alpha^n\beta^m)+(\alpha^{m+n}-\beta^{m+n}+\alpha^n\beta^m-\alpha^m\beta^n)}{\alpha-\beta} \\
= & \frac{2(\alpha^{m+n}-\beta^{m+n})}{\alpha-\beta} \\
= & 2U_{m+n}
\end{align}
</math>
および
:<math>
\begin{align}
U_m V_n-U_n V_m= & \frac{(\alpha^m-\beta^m)(\alpha^n+\beta^n)-(\alpha^n-\beta^n)(\alpha^m+\beta^m)}{\alpha-\beta} \\
= & \frac{(\alpha^{m+n}-\beta^{m+n}+\alpha^m\beta^n-\alpha^n\beta^m)-(\alpha^{m+n}-\beta^{m+n}+\alpha^n\beta^m-\alpha^m\beta^n)}{\alpha-\beta} \\
= & \frac{2(\alpha^m\beta^n-\alpha^n\beta^m)}{\alpha-\beta}=\frac{2\alpha^n\beta^n(\alpha^{m-n}-\beta^{m-n})}{\alpha-\beta} \\
= & 2Q^n U_{m-n}
\end{align}
</math>
により、最初の2つの式は証明される。

3つめの式は
:<math>
U_m U_{n+1}-QU_{m-1} U_n= \frac{(\alpha^m-\beta^m)(\alpha^{n+1}-\beta^{n+1})-\alpha\beta(\alpha^{m-1}-\beta^{m-1})(\alpha^n-\beta^n)}{(\alpha-\beta)^2}
</math>
となるところ、右辺の分子は
:<math>
\begin{align}
= & (\alpha^{m+n+1}+\beta^{m+n+1}-\alpha^m\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}\beta^m)-(\alpha^{m+n}\beta+\alpha\beta^{m+n}-\alpha^m\beta^{n+1}-\alpha^{n+1}\beta^m) \\
= & (\alpha^{m+n+1}+\beta^{m+n+1})-(\alpha^{m+n}\beta+\alpha\beta^{m+n}) \\
= & (\alpha-\beta)(\alpha^{m+n}-\beta^{m+n})
\end{align}
</math>
となることから、結局
:<math>
\begin{align}
U_m U_{n+1}-QU_{m-1} U_n=\frac{\alpha^{m+n}-\beta^{m+n}}{\alpha-\beta}=U_{m+n}.
\end{align}
</math>
となることより確かめられる。

また <math>D=(\alpha-\beta)^2</math> より
:<math>
V_m V_n+DU_m U_n=(\alpha^m+\beta^m)(\alpha^n+\beta^n)+(\alpha^m-\beta^m)(\alpha^n-\beta^n)=2(\alpha^{m+n}+\beta^{m+n})
</math>
が成り立つ。

====== 関係式 3 ======
（添字の加法その2）
:<math>
\begin{align}
U_{m+n}= & U_m V_n-Q^n U_{m-n}, \\
V_{m+n}= & V_m V_n-Q^n V_{m-n}=DU_m U_n+Q^n V_{m-n}.
\end{align}
</math>

'''証明'''<br />
前の式は
:<math>
\begin{align}
U_m V_n-Q^n U_{m-n}= & \frac{(\alpha^m-\beta^m)(\alpha^n+\beta^n)-\alpha^n \beta^n(\alpha^{m-n}-\beta{m-n})}{\alpha-\beta} \\
= & \frac{\alpha^{m+n}-\beta^{m+n}+\alpha^n\beta^n(\alpha^{m-n}-\beta^{m-n})-\alpha^n \beta^n (\alpha^{m-n}-\beta{m-n})}{\alpha-\beta} \\
= & \frac{\alpha^{m+n}-\beta^{m+n}}{\alpha-\beta} \\
= & U_{m+n}
\end{align}
</math>
により確かめられる。後の式は
:<math>
V_m V_n-Q^n V_{m-n}=(\alpha^m+\beta^m)(\alpha^n+\beta^n)-\alpha^n \beta^n (\alpha^{m-n}+\beta^{m-n})=\alpha^{m+n}+\beta^{m+n}
</math>
および
:<math>
DU_m U_n+Q^n V_{m-n}=(\alpha^m-\beta^m)(\alpha^n-\beta^n)+\alpha^n \beta^n (\alpha^{m-n}+\beta^{m-n})=\alpha^{m+n}+\beta^{m+n}
</math>
により確かめられる。

====== 関係式 4 ======
:<math>
\begin{align}
DU_n= & V_{n+1}-QV_{n-1},\\
V_n= & U_{n+1}-QU_{n-1}.
\end{align}
</math>

'''証明'''<br />
:<math>
V_{n+1}-QV_{n-1}=\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}-\alpha\beta(\alpha^{n-1}+\beta{n-1})
=(\alpha-\beta)(\alpha^n-\beta^n)
</math>
および <math>D=(\alpha-\beta)^2</math> より前の式が確かめられる。また
:<math>
U_{n+1}-QU_{n-1}=\frac{\alpha^{n+1}-\beta^{n+1}-\alpha\beta(\alpha^{n-1}-\beta^{n-1})}{\alpha-\beta}
</math>
となるところ、右辺の分子は
:<math>
(\alpha-\beta)(\alpha^n+\beta^n)
</math>
に一致するので、後の式も確かめられる。

====== 関係式 5 ======
（添字2倍公式）
:<math>
\begin{align}
U_{2n}= & U_n V_n,\\
V_{2n}= & V_n - 2Q^n.
\end{align}
</math>

'''証明'''<br />
関係式 2, 3 から導かれるが、
:<math>
\begin{align}
U_{2n}= & \frac{\alpha^{2n}-\beta^{2n}}{\alpha-\beta}=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}\cdot (\alpha^n+\beta^n)=U_n V_n,\\
V_{2n}= & \alpha^{2n}+\beta^{2n}=(\alpha^n+\beta^n)^2-2(\alpha\beta)^n=V_n - 2Q^n.
\end{align}
</math>
により直接確かめることもできる。

====== 関係式 6 ======
（添字3倍公式）
:<math>
\begin{align}
U_{3n}= & U_n(V_n^2-Q^n)=U_n(DU_n^2+3Q^n),\\
V_{3n}= & V_n(V_n^2-3Q^n).
\end{align}
</math>

'''証明'''<br />
:<math>
\begin{align}
U_{3n}= & \frac{\alpha^{3n}-\beta^{3n}}{\alpha-\beta}=\frac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}\cdot (\alpha^{2n}+\alpha^n\beta^n+\beta^{2n}) \\
= & U_n((\alpha^n+\beta^n)^2-(\alpha\beta)^n)=U_n(V_n^2-Q^n)\\
= & U_n((\alpha^n-\beta^n)^2+3(\alpha\beta)^n)=U_n(DU_n^2+3Q^n),
\end{align}
</math>
:<math>
V_{3n}= \alpha^{3n}+\beta^{3n}=(\alpha^n+\beta^n)^3-3(\alpha\beta)^n(\alpha^n+\beta^n)=V_n(V_n^2-3Q^n).
</math>
により確かめられる。

====== 二項展開に関する等式 ======
より一般的な、添字の乗法について考えたい。そのために、まず、次の等式が成り立つことを見る。
''m'' が偶数のとき
:<math>
\begin{align}
(X+Y)^m= & \sum_{r=0}^m \binom{m}{r}X^r Y^{m-r} \\
= & \sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{r}(X^r Y^{m-r}+X^{m-r}Y^r) + \binom{m}{m/2}(XY)^\frac{m}{2} \\
= & \sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{r}(XY)^r(X^{m-2r}+Y^{m-2r}) + \binom{m}{m/2}(XY)^\frac{m}{2}, \cdots (\#)
\end{align}
</math>
''m'' が奇数のとき
:<math>
\begin{align}
(X+Y)^m= & \sum_{r=0}^m \binom{m}{r}X^r Y^{m-r} \\
= & \sum_{r=0}^{\frac{m-1}{2}} \binom{m}{r}(X^r Y^{m-r}+X^{m-r}Y^r) \\
= & \sum_{r=0}^{\frac{m-1}{2}} \binom{m}{r}(XY)^r(X^{m-2r}+Y^{m-2r}). \cdots (\flat)
\end{align}
</math>

====== 関係式 7 ======
（奇数乗の展開）
''m'' が奇数のとき
:<math>
\begin{align}
D^{\frac{m-1}{2}}U_k^m
= & \sum_{r=0}^{\frac{m-1}{2}} \binom{m}{r} (-1)^r Q^{kr} U_{k(m-2r)} \\
= & U_{km}-\binom{m}{1}Q^k U_{k(m-2)}
+\binom{m}{2}Q^{2k} U_{k(m-4)}-\cdots
+(-1)^{\frac{m-1}{2}} \binom{m}{(m-1)/2}Q^{\frac{m-1}{2}k}U_k
\end{align}
</math>
および
:<math>
\begin{align}
V_k^m
= & \sum_{r=0}^{\frac{m-1}{2}} \binom{m}{r} Q^{kr} V_{k(m-2r)} \\
= & U_{km}+\binom{m}{1}Q^k V_{k(m-2)}
+\binom{m}{2}Q^{2k} V_{k(m-4)}+\cdots
+\binom{m}{(m-1)/2}Q^{\frac{m-1}{2}k}V_k.
\end{align}
</math>

'''証明''' <br />
:<math>
D^{\frac{m-1}{2}}U_k^m=(\alpha-\beta)^{m-1}\cdot \frac{(\alpha^k-\beta^k)^m}{(\alpha-\beta)^m}
=\frac{(\alpha^k-\beta^k)^m}{\alpha-\beta},
</math>
ここで、等式 <math>(\flat)</math> より
:<math>
\begin{align}
\frac{(\alpha^k-\beta^k)^m}{\alpha-\beta}=& \sum_{r=0}{\frac{m-1}{2}} \binom{m}{r}(-(\alpha\beta)^k)^r\cdot \frac{\alpha^{k(m-2r)}-\beta^{k(m-2r)}}{\alpha-\beta} \\
=& \sum_{r=0}^{\frac{m-1}{2}} \binom{m}{r} (-1)^r Q^{kr} U_{k(m-2r)}.
\end{align}
</math>
が成り立つ。同様に
:<math>
\begin{align}
V_k^m=& (\alpha^k+\beta^k)^m \\
=& \sum_{r=0}^{\frac{m-1}{2}} \binom{m}{r}(\alpha\beta)^{kr}(\alpha^{k(m-2r)}+\beta^{k(m-2r)}) \\
=& \sum_{r=0}^{\frac{m-1}{2}} \binom{m}{r} Q^{kr} V_{k(m-2r)}.
\end{align}
</math>
が成り立つ。


====== 関係式 8 ======
（偶数乗の展開）
''m'' が偶数で ''k'' が正の整数のとき
:<math>
\begin{align}
D^{\frac{m}{2}}U_k^m
= & \sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{r}(-1)^r Q^{kr} V_{k(m-2r)} + (-1)^{\frac{m}{2}} \binom{m}{m/2}Q^{\frac{mk}{2}} \\
= & V_{km}-\binom{m}{1}Q^k V_{k(m-2)}
+\binom{m}{2}Q^{2k} V_{k(m-4)}-\cdots
+(-1)^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{m/2-1}Q^{\left(\frac{m}{2}-1\right)k} V_{2k}
+(-1)^{\frac{m}{2}} \binom{m}{m/2}Q^{\frac{mk}{2}},
\end{align}
</math>
および
:<math>
\begin{align}
V_k^m
= & \sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{r}Q^{kr} V_{k(m-2r)} + \binom{m}{m/2}Q^\frac{mk}{2} \\
= & V_{km}+\binom{m}{1}Q^k V_{k(m-2)}
+\binom{m}{2}Q^{2k} V_{k(m-4)}+\cdots
+\binom{m}{m/2-1}Q^{\left(\frac{m}{2}-1\right)k} V_{2k}
+\binom{m}{m/2}Q^{\frac{mk}{2}}.
\end{align}
</math>
成り立つ。

'''証明''' <br />
等式 <math>(\#)</math> より
:<math>
\begin{align}
D^{\frac{m}{2}}U_k^m= & (\alpha^k-\beta^k)^m \\
= & \sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{r}(-\alpha^k \beta^k)^r(\alpha^{k(m-2r)}+\beta^{k(m-2r)}) + \binom{m}{m/2}(-\alpha^k \beta^k)^{\frac{m}{2}} \\
= & \sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{r}(-1)^r Q^{kr} V_{k(m-2r)} + (-1)^{\frac{m}{2}}\binom{m}{m/2}Q^\frac{mk}{2}
\end{align}
</math>
および
:<math>
\begin{align}
V_k^m= & (\alpha^k+\beta^k)^m \\
= & \sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{r}(\alpha^k \beta^k)^r(\alpha^{k(m-2r)}+\beta^{k(m-2r)}) + \binom{m}{m/2}(\alpha^k \beta^k)^{\frac{m}{2}} \\
= & \sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{r}Q^{kr} V_{k(m-2r)} + \binom{m}{m/2}Q^\frac{mk}{2}
\end{align}
</math>
が確かめられる。


====== 関係式 9 ======
（添字多倍公式）
''k'' が偶数のとき
:<math>
U_{km}=U_m\sum_{r=0}^{\frac{k}{2}-1}Q^{mr} V_{m(k-1-2r)}=U_m(V_{m(k-1)}+Q^m V_{m(k-3)}+\cdots ),
</math>
''k'' が奇数のとき
:<math>
U_{km}=U_m\left(Q^{\frac{m(k-1)}{2}}+\sum_{r=0}^{\frac{k-3}{2}}Q^{mr} V_{m(k-1-2r)}\right)
</math>
および
:<math>
V_{km}=V_m\left((-1)^{\frac{k-1}{2}} Q^{\frac{m(k-1)}{2}}+\sum_{r=0}^{\frac{k-3}{2}}(-1)^r Q^{mr} V_{m(k-1-2r)}\right)
</math>
が成り立つ。

'''証明'''<br />
''k'' が偶数のとき
:<math>
\begin{align}
U_{km}
= & \frac{\alpha^{km}-\beta^{km}}{\alpha-\beta} \\
= & \frac{\alpha^{km}-\beta^{km}}{\alpha^m-\beta^m}\cdot U_m \\
= & U_m\sum_{r=0}^{k-1}\alpha^{m(k-1-r)}\beta^{mr} \\
= & U_m\sum_{r=0}^{\frac{k}{2}-1}Q^{mr} V_{m(k-1-2r)},
\end{align}
</math>
また ''k'' が奇数のとき
:<math>
\begin{align}
U_{km}
= & \frac{\alpha^{km}-\beta^{km}}{\alpha-\beta} \\
= & \frac{\alpha^{km}-\beta^{km}}{\alpha^m-\beta^m}\cdot U_m \\
= & U_m\sum_{r=0}^{k-1}\alpha^{m(k-1-r)}\beta^{mr} \\
= & U_m(Q^{\frac{m(k-1)}{2}}+\sum_{r=0}^{\frac{k-3}{2}}Q^{mr} V_{m(k-1-2r)})
\end{align}
</math>
および
:<math>
\begin{align}
\frac{V_{km}}{V_m}
= & \frac{\alpha^{km}+\beta^{km}}{\alpha^m+\beta^m} \\
= & \sum_{r=0}^{k-1}(-1)^r \alpha^{m(k-1-r)}\beta^{mr} \\
= & (-1)^{\frac{k-1}{2}} Q^{\frac{m(k-1)}{2}}+\sum_{r=0}^{\frac{k-3}{2}}(-1)^r Q^{mr} V_{m(k-1-2r)}
\end{align}
</math>
である。

====== 関係式 10 ======
（''P'' , ''D'' を使った展開）
:<math>2^{n-1}U_n=\binom{n}{1}P^{n-1}+\binom{n}{3}P^{n-3}D+\cdots</math>
:<math>2^{n-1}V_n=P^n+\binom{n}{2}P^{n-2}D+\binom{n}{4}P^{n-4}D^2+\cdots</math>

'''証明''' <br />
:<math>\frac{V_1+U_1\sqrt{D}}{2}=\alpha=\frac{P+\sqrt{D}}{2}</math>
を ''n'' 乗して
:<math>\frac{V_n+U_n\sqrt{D}}{2}=\alpha^n \left(\frac{P+\sqrt{D}}{2}\right)^n</math>
つまり
:<math>
\begin{align}
2^{n-1}(V_n+U_n\sqrt{D})= & (P+\sqrt{D})^n \\
= & P^n+\binom{n}{1}P^{n-1}\sqrt{D}+\binom{n}{2}P^{n-2}D+\cdots \\
= & \left(P^n+\binom{n}{2}P^{n-2}D+\binom{n}{4}P^{n-4}D^2+\cdots \right)
+\left(\binom{n}{1}P^{n-1}+\binom{n}{3}P^{n-3}D+\cdots \right)\sqrt{D}
\end{align}
</math>
と展開できる。同様に
:<math>
\begin{align}
2^{n-1}(V_n-U_n\sqrt{D})= & (P-\sqrt{D})^n \\
= & P^n-\binom{n}{1}P^{n-1}\sqrt{D}+\binom{n}{2}P^{n-2}D-\cdots \\
= & \left(P^n+\binom{n}{2}P^{n-2}D+\binom{n}{4}P^{n-4}D^2+\cdots \right)
-\left(\binom{n}{1}P^{n-1}+\binom{n}{3}P^{n-3}D+\cdots \right)\sqrt{D}
\end{align}
</math>
と展開できる。これらの和および差を1/2倍して求める式が得られる。

====== 関係式 11 ======
（<math>P^m</math> の展開）
''m'' が偶数のとき
:<math>P^m=\sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{r}Q^r V_{m-2r} + \binom{m}{m/2}Q^\frac{m}{2},</math>
''m'' が奇数のとき
:<math>P^m=\sum_{r=0}^{\frac{m-1}{2}} \binom{m}{r}Q^r V_{m-2r}=V_m+mQV_{m-2}+\binom{m}{2}Q^2 V_{m-4}+\cdots .</math>

'''証明'''<br />

等式 <math>(\#)(\flat)</math> より ''m'' が偶数のとき
:<math>
\begin{align}
P^m= & (\alpha+\beta)^m \\
= & \sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{r}(\alpha\beta)^r(\alpha^{m-2r}+\beta^{m-2r}) + \binom{m}{m/2}(\alpha\beta)^\frac{m}{2} \\
= & \sum_{r=0}^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{r}Q^rV_{m-2r} + \binom{m}{m/2}Q^\frac{m}{2},
\end{align}
</math>
''m'' が奇数のとき
:<math>
\begin{align}
P^m= & (\alpha+\beta)^m \\
= & \sum_{r=0}^{\frac{m-1}{2}} \binom{m}{r}(\alpha\beta)^r(\alpha^{m-2r}+\beta^{m-2r}) \\
= & \sum_{r=0}^{\frac{m-1}{2}} \binom{m}{r}Q^rV_{m-2r}
\end{align}
</math>
となる。


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