初等数学公式集/解析幾何のソースを表示

== 平面 ==
=== 2点間の関係 ===
2点A<math>(a_1, b_1)</math>, B<math>(a_2, b_2)</math>において、
*距離:<math>AB = \sqrt{(a_2 - a_1)^2 + (b_2 - b_1)^2}</math>
*<math>m:n</math>に内分する点<math>P</math>:<math>\left(\frac{m a_2 + n a_1}{m+n}, \frac{m b_2 + n b_1}{m+n}\right)</math>
*<math>m:n</math><small><small><math>(m \neq n)</math></small></small>に外分する点<math>Q</math>:<math>\left(\frac{m a_2 - n a_1}{m-n}, \frac{m b_2 - n b_1}{m-n}\right)</math>

=== 関数のグラフの移動 ===
[[高等学校数学C/平面上の曲線#二次曲線の移動|参照]]
==== 平行移動 ====
* <math>y=f(x)</math>の表すグラフを ''x''軸方向に''a''、 ''y''軸方向に''b''移動したときのグラフを表す式： <math> y-b = f(x-a)</math>
==== 対称移動 ====
* <span id="x軸対称"/><math>y=f(x)</math>の表すグラフを ''x''軸に関して対称移動したときのグラフを表す式（x軸対称）： <math> y = -f(x)</math>
*:　
*  <span id="y軸対称"/><math>y=f(x)</math>の表すグラフを ''y''軸に関して対称移動したときのグラフを表す式（y軸対称）： <math> y = f(-x)</math>
*:　
*  <span id="原点対象"/><math>y=f(x)</math>の表すグラフを原点に関して対称移動したときのグラフを表す式（原点対称）： <math> y = -f(-x)</math>
*:　
* <math>y=f(x)</math>の表すグラフを直線<math>y=x</math> に関して対称移動したときのグラフを表す式： <math> x = f(y)</math>
*:　
*::<math>f(x)</math>の'''逆関数'''を<math>f^{-1}(x)</math>と表す場合: <math> y = f^{-1}(x)</math>
*:　
* <math>y=f(x)</math>の表すグラフを直線<math>x=m</math>に関して対称移動したときのグラフを表す式： <math>2n-y = f(x)</math>
*:　
* <math>y=f(x)</math>の表すグラフを直線<math>y=n</math>に関して対称移動したときのグラフを表す式： <math>y=f(2m-x)</math>
*:　
* <math>y=f(x)</math>の表すグラフを点<math>(m, n)</math>に関して対称移動したときのグラフを表す式： <math>2n-y = f(2m-x)</math>
*:　
==== その他 ====
* <math>y=f(x)</math>の表すグラフを原点中心にθだけ回転移動したときのグラフを表す式： <math>-x \sin \theta + y \cos \theta = f(x \cos \theta + y \sin \theta)</math>
*:　
* a,bともに正として、<math>y=f(x)</math>の表すグラフを、x軸方向にa倍、y軸方向にb倍だけ拡大（a<1,b<1のとき縮小）したときのグラフを表す式： <math>\frac{y}{b} = f \left(\frac{x}{a}\right)</math>
*:　
*:*<math>\frac{y}{b} = - f \left(\frac{x}{a}\right)</math> ; <math>\frac{y}{b} = f \left(\frac{x}{a}\right)</math>を[[#x軸対称|x軸対称移動]]。
*:　
*:*<math>\frac{y}{b} = f \left(-\frac{x}{a}\right)</math> ; <math>\frac{y}{b} = f \left(\frac{x}{a}\right)</math>を[[#y軸対称|y軸対称移動]]。
*:　
*:*<math>\frac{y}{b} = -f \left(-\frac{x}{a}\right)</math> ; <math>\frac{y}{b} = f \left(\frac{x}{a}\right)</math>を[[#原点対称|原点対称移動]]。

=== 直線 ===
* 2点 <math>(a_1, b_1)</math>, <math>(a_2, b_2)</math> を通る直線の式：
*:<math>y=\frac{b_2-b_1}{a_2-a_1}(x-a_1)+b_1 </math>
** 2点 <math>x</math>切片<math>(a, 0)</math>, <math>y</math>切片<math>(0, b)</math>（但し、ab≠0とする）を通る直線の式：
**:<math>\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 </math>
* 点 <math>(x_0, y_0)</math> を通り、傾き <math>c</math> の直線の式：
*:<math>y-y_0=c(x-x_0) </math>
** 傾き <math>c</math> を方向ベクトル<math>(a, b)</math>と捉えると：
**:<math>\frac{x-x_0}a=\frac{y-y_0}b </math>
*** 直線と<math>x</math>軸が成す角を<math>\theta</math>とする。
***:この時、<math>c = \tan \theta</math> であり、方向ベクトルは<math>(1,  \tan \theta) = (\cos \theta,  \sin \theta) </math>と捉えられる、
***:したがって、点 <math>(x_0, y_0)</math> を通り、傾きの角度が <math>\theta</math> である直線の式：
***::<math>y-y_0= (x-x_0) \tan \theta </math>
***::<math>\Leftrightarrow (x-x_0) \sin \theta = (y-y_0) \cos \theta </math>
****特に 原点''<math>O</math>'' <math>(0, 0)</math>を通る場合
****:<math>y=  x \tan \theta \Leftrightarrow x \sin \theta = y \cos \theta  \Leftrightarrow x \sin \theta - y \cos \theta = 0</math>
* 点''<math>P</math>'' <math>(x_0, y_0)</math>と直線<math>ax + by + c = 0</math>との距離<math> l</math>:
*:<math>l</math>　= <math> \frac{\left|ax_0 + by_0 + c\right\vert}{\sqrt{a^2 + b^2}}  </math>
**特に 原点''<math>O</math>'' <math>(0, 0)</math>と直線<math>ax + by + c = 0</math>（<math>ax + by = -c</math>）との距離<math> l_0</math>:
**:<math>l_0</math>　= <math> \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}</math>
***原点''<math>O</math>'' <math>(0, 0)</math>と2点 <math>x</math>切片<math>(a, 0)</math>, <math>y</math>切片<math>(0, b)</math>（但し、ab≠0とする）を通る直線:<math>\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 </math>との距離<math> l_0</math>:
***:<math>l_0</math>　= <math> \frac{|ab|}{\sqrt{a^2 + b^2}}</math>

==== 平均変化率 ====
* ''x''を''a''から''b''まで変化させたときの関数<math>f(x)</math>の変化の割合（平均変化率）:
*:<math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a} </math>
==== 接線の方程式 ====
* 関数<math>f(x)</math>のグラフ上の点<math>(x_1, y_1)</math>における接線:
*:<math>y - y_1=f^\prime(x)(x - x_1) </math>
* 関数<math>f(x)</math>のグラフ上の点<math>(x_1, y_1)</math>における法線:
*:<math>y - y_1= -\frac{1}{f^\prime(x)} (x - x_1) </math>

=== 二次曲線 ===
==== 円 ====
* 原点<math>\displaystyle (0, 0)</math>を中心とする、半径''r''の円<math>O</math>の方程式（標準形）：
*:<math>O: \displaystyle x^2+y^2 = r^2</math>
** 上記円<math>O</math>を、<math>\displaystyle (a, b)</math>移動させた、半径''r''の円<math>O_1</math>の方程式
**:<math>O_1: \displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2</math>, 中心座標<math>\displaystyle (a, b)</math>
* 円の方程式の一般形
*:<math>\displaystyle x^2+y^2+hx+ky+c = 0</math>　ただし、<math>h^2+k^2-4c > 0</math>。
* 円<math>O</math>について一般角<math>\theta</math>を用いた媒介変数表示
**<math>x = r\cos\theta</math>
**<math>y = r\sin\theta</math>
**: 円<math>O_1</math>について一般角<math>\theta</math>を用いた媒介変数表示
**:*<math>x = r\cos\theta + a</math>
**:*<math>y = r\sin\theta + b</math>
* 円<math>O: \displaystyle x^2+y^2 = r^2</math>上の点<math>P</math><math>\displaystyle (x_1, y_1)</math>における接線：
*:<math>\displaystyle x_1x+y_1y = r^2</math>（[[初等数学公式集/微積分#円の微分|参考]]）

==== 楕円 ====
*楕円の標準形: <math>\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} = 1</math> <math>(a  \neq b)</math>
*:上記楕円の、<math>x</math>軸、<math>y</math>軸との交点を、<math>A, A', B, B'</math>とすると、
*::<math>A:(a,0), A':(-a,0), B:(0,b), B':(0,-b)</math>、<math>AA', BB'</math>の長い方を'''長軸'''、短い方を'''短軸'''という。長軸と短軸を合わせて'''主軸'''という
*::<math>AA', BB'</math>は、<math>O:(0,0)</math>で垂直に交わる。点<math>O</math>を楕円の'''中心'''、点<math>A, A', B, B'</math>を楕円の'''頂点'''という。中心を通る弦を'''直径'''という。
*:::直径:<math>d = 2\sqrt{b^2+\left(1-\frac{b^2}{a^2}\right)x^2}</math><math>= 2\sqrt{a^2+\left(1-\frac{a^2}{b^2}\right)y^2}</math>
** 上記楕円の一般角<math>\theta</math>を用いた媒介変数表示
***<math>x = a\cos\theta</math>
***<math>y = b\sin\theta</math>
[[Image:Ellipse-def.png|200px|thumb|楕円と焦点]]
*2定点<math>F:(k,0), F':(-k,0) </math><math></math>までの距離の和:<math>FP+F'P</math>が一定値:<math>2a</math>である点<math>P</math>の軌跡は以下の式となる（なお、<math>0<k<a</math>）。
*:<math>\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{a^2-k^2} = 1</math>
*::これは、<math>A:(a,0), A':(-a,0), B:(0,\sqrt{a^2-k^2}), B':(0,-\sqrt{a^2-k^2})</math>、<math>AA'</math>を長軸、<math>BB'</math>を短軸とする楕円である。
*::この時、<math>F:(k,0), F':(-k,0) </math>を楕円の'''焦点'''という。
*:::2焦点を通る直径を長軸、2焦点の垂直二等分線である直径を短軸と定義できる。
*::標準形: <math>\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} = 1</math>の焦点:
*::*<math>a>b</math>ならば、<math>F:(\sqrt{a^2-b^2},0), F':(-\sqrt{a^2-b^2},0) </math>
*::*<math>a<b</math>ならば、<math>F:(0,\sqrt{b^2-a^2}), F':(0,-\sqrt{b^2-a^2}) </math>
* 楕円:<math>\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1</math>上の点<math>(x_1, y_1)</math>における接線:
*:<math>\frac{x_{1}x}{a^{2}} + \frac{y_{1}y}{b^{2}} = 1</math>（[[初等数学公式集/微積分#楕円の微分|参考]]）

==== 放物線 ====
* グラフが点 <math>(p, q)</math> を頂点とし，2次の項の係数が <math>a</math> である二次関数の式：
*:<math>y=a(x-p)^2+q</math>
* グラフが点 <math>(p, q)</math> を頂点とし，点 <math>(a, b)</math> を通る二次関数の式：
*:<math>y=\frac{b-q}{(a-p)^2}(x-p)^2+q</math>
* 二次関数<math>y=ax^2+bx+c</math>のグラフの頂点：
*:<math>\left( -\frac{b}{2a} , -\frac{b^2 - 4ac}{4a}\right)</math>
* グラフが2点 <math>(a_1, b_1)</math>, <math>(a_2, b_2)</math> を通り，2次の項の係数が <math>c</math> である二次関数の式：
*:<math>y=c(x-a_1)(x-a_2)+\frac{b_2-b_1}{a_2-a_1}(x-a_1)+b_1</math>
* グラフが3点 <math>(a_1, b_1)</math>, <math>(a_2, b_2)</math>, <math>(a_3, b_3)</math> を通る二次関数の式：
*:<math>y=b_1\frac{(x-a_2)(x-a_3)}{(a_1-a_2)(a_1-a_3)}+b_2\frac{(x-a_3)(x-a_1)}{(a_2-a_3)(a_2-a_1)}+b_3\frac{(x-a_1)(x-a_2)}{(a_3-a_1)(a_3-a_2)}</math>
[[Image:Parabola with focus and directrix.svg|200px|thumb|準線 L と焦点 F]]
*点<math>P</math>について、定点<math>F</math>と<math>F</math>を通らない直線<math>L</math>上の点で<math>P</math>と距離をなす<math>Q</math>に関して、<math>FP=PQ</math>であるときの点<math>P</math>の軌跡は放物線となる。この時、定点<math>F</math>を'''焦点'''、直線<math>L</math>を'''準線'''という。
*:<math>P</math>:<math>(x, y)</math>、焦点を<math>F</math>:<math>(0, a)</math>、準線の式を <math>y = -a</math> とすると<math>FP=PQ</math>より
*:: <math>\sqrt{x^2 + (a-y)^2} = y+a</math>
*:: <math>x^2 + a^2 - 2ay + y^2 = y^2 + 2ay + a^2</math>
*:: <math>x^2 = 4ay</math>
*:: <math>y = \frac{x^2}{4a}</math>
*<math>y=ax^2</math>の焦点<math>F</math>:<math>\left(0, \frac{1}{4a}\right)</math>、準線:<math>y = -\frac{1}{4a}</math>
* 放物線:<math>y^2 = 4px</math>上の点<math>(x_1, y_1)</math>における接線:
*:<math>y_1y = 2p(x + x_1)</math>

==== 双曲線 ====
[[Image:Doublehyperbel.png|200px|thumb|双曲線]]
*双曲線の標準形: <math>\displaystyle \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2} = 1</math>（<math>x</math>軸対称、右図青色で示されるもの）
*:上記双曲線の'''漸近線''':<math>\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0 \ , \ \frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 0</math>
*::特に、a=bである時、この2つの漸近線は直行し、この双曲線を特に直角双曲線という。
*:::直角双曲線:<math>\displaystyle x^2- y^2 = a^2</math>について<math>\frac{\pi}{4}</math>回転させると、
*::::<math>X = x\cos{\frac{\pi}{4}}-y\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x-y)</math>, <math>Y= x\sin{\frac{\pi}{4}}+y\cos{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x+y)</math>
*::::<math>x-y = X\sqrt{2}</math>, <math>x+y = Y\sqrt{2}</math>
*::::<math>\therefore XY = \frac{a^2}{2}</math>、即ち、<math>Y = \frac{a^2}{2X}</math>となり、反比例のグラフとなることがわかる。
* 双曲線:<math>\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1</math>上の点<math>(x_1, y_1)</math>における接線:
*:<math>\frac{x_{1}x}{a^{2}} - \frac{y_{1}y}{b^{2}} = 1</math>
* 一般角<math>\theta</math>を用いた媒介変数表示
**<math>x = \frac{a}{\cos\theta}</math>
**<math>y = b\tan\theta</math>
[[Image:Hyperbel-def-e.svg|200px|thumb|双曲線と焦点]]
*2定点<math>F_1:(k,0), F_2:(-k,0) </math>までの距離の差:<math>|F_1 P-F_2 P|</math>が一定値:<math>2a</math>である点<math>P</math>の軌跡は以下の式となる。
*:<math>\displaystyle \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{k^2-a^2} = 1</math>
*::<math>\triangle{P F_1 F_2}</math>において、<math>|F_1 P-F_2 P| < F_1 F_2</math>なので、<math>a < k</math>。従って、<math>k^2 - a^2 > 0</math>であり、<math>k^2 - a^2 = b^2</math>と置くことができ、この軌跡は、双曲線であることがわかる。
*::この時、<math>F_1:(k,0), F_2:(-k,0) </math>を双曲線の'''焦点'''といい、焦点を結ぶ直線を'''主軸'''（上記の場合、<math>x</math>軸:<math>y=0</math>）という。
*::双曲線と主軸の交点を求めると、<math>y=0, x=\pm a</math>、交点は<math>V_1:(a,0), V_2:(-a,0) </math>となり、これらを、双曲線の'''頂点'''、頂点の中点を双曲線の'''中心'''という。
*:*標準形: <math>\displaystyle \frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2} = 1</math>の焦点:
*:*:<math>F:(\sqrt{a^2+b^2},0), F':(-\sqrt{a^2+b^2},0) </math>

====離心率====
座標平面上に定点F<math>(c,0)</math>と定直線<math>L:x=0</math>をとる。点P<math>(x, y)</math>からLに下ろした垂線の足をHとする。
*離心率<math>\varepsilon = \frac{\overline{PF}}{\overline{PH}}</math> 
*Fは二次曲線の焦点、Lは準線である。


*<math>\overline{PF}:\overline{PH} = \varepsilon:1</math>を満たす点Pの軌跡は、
**ε=0ならば、Fを中心とする真円
**0<ε<1ならば、Fを焦点の一つとする楕円
**ε=1ならば、Fを焦点・Lを準線とする放物線
**ε>1ならば、Fを焦点の一つとする双曲線
**ε→∞のとき、Fに限りなく近い点を通る直線


*扁平率
**扁平率<math>f</math>は<math>\varepsilon^2 = f (2-f)</math>の解。


====反射定理====
*放物線の軸に平行に進む光線は、放物線に当たって反射すると全て焦点に集まる。
*楕円の焦点から発した光線は、楕円に当たって反射すると全てもう一方の焦点に集まる。
*双曲線の焦点に向かって進む光線は、双曲線に当たって反射すると全てもう一方の焦点に集まる。

=== その他の図形 ===
* 原点''O''・点<math>A(x_a,y_a)</math>・点<math>B(x_b,y_b)</math>を結んでできる三角形OABの面積''S'':
*:<math>S = \frac{1}{2} \left|y_0\right| \left| x_a - x_b \right|=\frac{1}{2} \left|x_0\right| \left| y_a - y_b \right| </math>
*:ただし<math>x_0,y_0</math>はそれぞれ直線''AB''の''x''切片・''y''切片。
*:または <math>S = \frac {\left| x_ay_b - x_by_a \right|}{2} </math> （サラスの公式）

*2次関数(<math>y=ax^2</math>)上の3点<math>A(x_a,y_a)</math>・<math>B(x_b,y_b)</math>・<math>C(x_c,y_c)</math>を結んで出来る三角形ABCの面積''S'':
*:<math>x_a - x_b = l</math> , <math>x_b - x_c = m</math> , <math>x_c - x_a = n</math>とすると、
*:<math>S = \frac{|almn|}{2}</math>

== 三次元空間 ==
* 2点A<math>(a_1, b_1, c_1)</math>, B<math>(a_2, b_2, c_2)</math>間の距離：
*:
*:<math>AB = \sqrt{(a_2 - a_1)^2 + (b_2 - b_1)^2+ (c_2 - c_1)^2}</math>

=== 直線の式 ===
* 点 <math>(x_0, y_0, z_0)</math> を通り、方向ベクトルが<math>(a, b, c)</math>である直線の式：
*:<math>\frac{x-x_0}a=\frac{y-y_0}b=\frac{z-z_0}c</math>
** 2点 <math>(a_1, b_1, c_1)</math>, <math>(a_2, b_2, c_2)</math> を通る直線の式：
**:<math>\frac{x-a_1}{a_2-a_1}=\frac{y-b_1}{b_2-b_1}=\frac{z-c_1}{c_2-c_1}</math>

=== 平面の式 ===
* 一般式
*:<math>ax + by + cz + d = 0</math>
*::なお、<math>d\neq{0}</math>である時、<math>ax + by + cz = 1</math>と表せる。
*::また、<math>d = 0</math>ならば、<math>ax + by + cz = 0</math>であり、原点<math>O(0, 0, 0)</math>を含む平面となる。
** 点 <math>(x_0, y_0, z_0)</math> を通り、法線ベクトルが<math>(a, b, c)</math>である平面の式：
**:<math>a({x-x_0})+b({y-y_0})+c({z-z_0})=0</math>
** 3点 <math>x</math>切片<math>(a, 0, 0)</math>, <math>y</math>切片<math>(0, b, 0)</math>, <math>z</math>切片<math>(0, 0, c)</math>（ただし<math>abc\neq{0}</math>とする）を通る平面の式：
**:<math>\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1</math>
** 同一直線上にない3点 <math>(x_1, y_1, z_1)</math>, <math>(x_2, y_2, z_2)</math>, <math>(x_3, y_3, z_3)</math> を通る平面の式：
**: <math>ax + by + cz = \Delta</math>
**: ただし、
**:: <math>a = y_2 z_3 - y_3 z_2 - y_1 z_3 + y_3 z_1 + y_1 z_2 - y_2 z_1</math>
**:: <math>b = - x_2 z_3 + x_3 z_2 + x_1 z_3 - x_3 z_1 - x_1 z_2 + x_2 z_1</math>
**:: <math>c = x_2 y_3 - x_3 y_2 - x_1 y_3 + x_3 y_1 + x_1 y_2 - x_2 y_1</math>
**:: <math>\Delta = x_1 y_2 z_3 + x_2 y_3 z_1 + x_3 y_1 z_2 - x_1 y_3 z_2 - x_2 y_1 z_3 - x_3 y_2 z_1</math>
**:<u>※通常は、<math>ax + by + cz = 1</math></u>　.or.　<math>0</math><u> に代入して、三元一次方程式を解く。その結果を[[クラメルの公式]]を用いて表したのが上記。</u>


* 点''<math>P</math>'' <math>(p, q, r)</math>と平面<math>ax + by + cz + d = 0</math>の距離<math> l</math>:
*:<math>l</math>　= <math> \frac{\left|ap + bq + cr + d\right\vert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}  </math>


* 平面と直線との交点
**平面<math>\Pi : ax + by + cz + d = 0</math>　と直線<math>l: \frac{x-x_0}p=\frac{y-y_0}q=\frac{z-z_0}r</math>　との交点。
**:（解法）
**::直線上の点をパラメータ<math>t</math>で表すと<math>(pt + x_0, qt + y_0, rt + z_0)</math>
**::これを、平面の式に代入し、<math>t</math>について解くと、<math>t</math>　= <math> -\frac{ ax_0 + by_0 + cz_0 +d }{ ap + bq + cr }</math> が得られる。これを、直線の式に代入し交点を求める（代入の結果は割愛）。
***なお、<math>ap + bq + cr = 0</math>　かつ <math> ax_0 + by_0 + cz_0 +d  \neq{0}</math> ならば、平面<math>\Pi </math>と直線<math>l</math>は交点を有さない。
****この時の平面<math>\Pi </math>と直線<math>l</math>との距離は、
****:<math> \frac{\left|ax_0 + by_0 + cz_0 +d\right\vert}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}  </math>
***また、<math>ap + bq + cr = 0</math>　かつ <math> ax_0 + by_0 + cz_0 +d  = 0</math> ならば、直線<math>l</math>は平面<math>\Pi </math>上にある。
**::*<math>ap + bq + cr </math>は、平面<math>\Pi </math>の法線ベクトル<math>(a, b, c)</math>と直線<math>l</math>の方向ベクトル<math>(p, q, r)</math>との内積であり、この値が<math>0</math>であるということは、これらが直行していることを意味し、直線が平面と交わらないか、平面上にあることとなる。


* 2平面の交差
**平面<math>\Pi_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0</math>　と平面<math>\Pi_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0</math>とが交わる時、[[w:二面角|二面角]]を<math>\varphi</math>(ただし、<math>0\le \varphi \le \pi/2.</math>)とすると、以下の式が成立する。
**:<math>\cos \varphi = \frac{\left\vert a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 \right\vert}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}</math>


* 2平面の交線
**平面<math>\Pi_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0</math>　と平面<math>\Pi_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0</math>とが交線として直線<math>l: \frac{x-x_0}p=\frac{y-y_0}q=\frac{z-z_0}r</math>を有するとき、以下の関係が成立。
**#平面1及び平面2が交線を有する条件: 平面が一致ないし平行ではない。
**#:したがって、平面<math>\Pi_1</math>　と平面<math>\Pi_2</math>の各々の法線ベクトル:<math>\vec{n_1}</math>, <math>\vec{n_2}</math>について、<math>\vec{n_1}  \neq{k\vec{n_2}}</math> (<math>k \neq{0}</math>)
**#:*二面角を<math>\varphi</math>として、<math>\cos \varphi \neq{1}</math>。
**#直線<math>l</math>の方向ベクトル:<math>\vec{m} = (p, q, r)</math>は、法線ベクトル:<math>\vec{n_1} = (a_1, b_1, c_1)</math>, <math>\vec{n_2} = (a_2, b_2, c_2)</math>と直行する。
**#:そのような、ベクトル:<math>\vec{m}</math>の一つとして、各々の成分が以下のものが存在する。
**#::<math>p =  b_1 c_2 - b_2 c_1</math>
**#::<math>q =  - a_1 c_2 + a_2 c_1</math>
**#::<math>r =  a_1 b_2 - a_2 b_1</math>
**#直線<math>l</math>上の点<math>(x_0, y_0, z_0)</math>は、以下の等式を満たす。
**#::<math>a_1 x_0 + b_1 y_0 + c_1 z_0 + d_1 = 0</math>
**#::<math>a_2 x_0 + b_2 y_0 + c_2 z_0 + d_2 = 0</math>
**#:*<math> z_0 = 0</math>と置くなどして方程式を解き、<math>(x_0, y_0, z_0)</math>を一意に決めることができる。
**#上記2. 3.により直線<math>l: \frac{x-x_0}p=\frac{y-y_0}q=\frac{z-z_0}r</math>の式を得ることができる。

=== 球面の式 ===
* 中心座標<math>\displaystyle (a, b, c)</math>、半径''r''の球の方程式（標準形）：
*:<math>\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = r^2</math>
*球面:<math>\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = r^2</math>上の点<math>(x_0, y_0, z_0)</math>で接する平面
*:<math>({a-x_0})({x-x_0})+({b-y_0})({y-y_0})+({c-z_0})({z-z_0})=0</math>
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