初等数学公式集/確率・統計のソースを表示

== 順列・組合せ ==
* <span id="順列"/>異なる<math>n</math>個から<math>r</math>個を取る'''順列'''（'''P'''ermutation パーミテーション）：
*:<math>{}_n{\rm P}_r = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!} </math>
** 異なる<math>n</math>個から<math>r</math>個を取るとき、重複を許す場合の順列（重複順列）：
**:<math>\displaystyle n^r = {}_n{\rm \Pi}_r </math>
*<math>n</math>個のもののうち、<math>p^1</math>個は同じもの、<math>p^2</math>個は別の同じもの、<math>p^3</math>個はさらに別の同じもの、……であるとき、これら<math>n</math>個のもの全部で作られる順列:
*:<math> \frac{n!}{p_1! p_2! p_3! \cdots p_k!}</math> ただし、<math>n = p^1 + p^2 + p^3 + \cdots + p^k</math>
* 異なる<math>n</math>個のものを円形に並べる順列（円順列）:
*:<math>\displaystyle (n-1)! </math>
*異なる<math>n</math>個のものを（時計・反時計回り関係無く）円形に並べる順列（数珠順列） :
*:<math>\displaystyle \frac{(n-1)!}{2} </math>
* <span id="組合せ"/>異なる<math>n</math>個から<math>r</math>個を取る'''組合せ'''（'''C'''ombination コンビネーション）：
*:<math>{}_n{\rm C}_{r} = {n\times (n-1)\times\cdots\times(n-r+1) \over r\times(r-1)\times\cdots\times 1} = \frac{n!}{r!(n-r)!} </math>
** 異なる<math>n</math>個から<math>r</math>個を取るとき、重複を許す場合の組合せ（重複組合せ）：
**:<math>\displaystyle {}_{n+r-1}{\rm C}_{r} = {}_n{\rm \Eta}_r </math>

*<math>_nC_r = \frac{_nP_r}{r!}</math>
*<math>_nC_r = _nC_{n-r}</math>
*<math>_nC_r = _{n-1}C_r + _{n-1}C_{r-1}</math>
*<math>r_nC_r = n_{n-1}C_{r-1}</math>

== 確率 ==
* Aが起こらない確率（Aの余事象が起きる確率）<math>P( \bar A )</math>:
*:<math>P(\bar{A}) = 1 - P(A) </math>
*:*<math>n</math>回試行して、少なくとも1回はAが起こる確率 - <math>n</math>回試行して、1回もAが起こらない事象の余事象
*:*:<math>P_n(A) = 1 - ( 1 - P(A) ) ^ n</math>
* 条件付き確率 - ある事象 B が起こるという条件の下での別の事象 A の確率:
*:<math>\displaystyle P(A\mid B) </math> 又は、 <math>\displaystyle P_B(A) </math>
** 事象Bにかかわらず、事象Aがおこるとき、A,Bは独立と言い、<math>P(A\mid B)=P(A)</math>となる。
** 事象Bがおこるとき、必ず事象Aがおこる場合、AはBに完全従属と言い、<math>P(A\mid B)=1</math>となる。
** 事象Bがおこるとき、必ず事象Aがおこらない場合、AはBに排反、または、A,Bは排反と言い、<math>P(A\mid B)=0</math>となる。
* 事象A,Bが同時に起きる（すなわち積事象<math>A \cap B</math>の）確率:
*:<math>\displaystyle P(A \cap B)=P(A\mid B) P(B) </math>
** 特に事象A,Bが独立、すなわち<math>P(A\mid B)=P(A)</math>のとき:
**:<math>\displaystyle P(A \cap B)=P(A)P(B) </math>
* 事象AまたはBが起きる（すなわち和事象<math>A \cup B</math>の）確率:
*:<math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) </math>
** 特に事象A, Bが排反、すなわち<math>P(A \cap B)=0</math>のとき:
**:<math>P(A \cup B) = P(A) + P(B) </math>
* 確率''p''で事象Aが起こる試行を独立に<math>n</math>回行うとき、事象Aがちょうど<math>r</math>回起こる確率(反復試行の確率):
*:<math>\displaystyle {}_n{\rm C}_{r}p^r(1-p)^{n-r} </math>

== 統計 ==
=== 平均値・分散・標準偏差 ===
以下、この節では度数分布表の階級値を<math>x_1 , x_2 , \cdots , x_n</math>とし、それに対応する度数を<math>f_1 , f_2 , \cdots , f_n</math>、総度数を<math>n</math>とする。
* 度数分布表からの平均値<math>\overline{x}</math>:
*:<math>\overline{x} =\sum_{k=1}^{n}x_k \frac{f_k}{N}</math>
** また、このときの分散<math>s^2</math>と標準偏差''s'':
**:<math>s^2 = \sum_{k=1}^{n} (x_k - \overline{x})^2 \frac{f_k}{N}</math>
**:<math>s = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} (x_k - \overline{x})^2 \frac{f_k}{N}}</math>

*ある階級値を仮平均''a''とし、階級の幅を''c''、仮平均からの偏差を''c''で割った数値を<math>u_k</math>とする　(すなわち<math>u_k= \frac{x_k - a}{c}</math> <math>(k=1,2,\cdots,n)</math>)ときの平均値<math>\overline{x}</math>:
*:<math>\overline{x}=a +c\overline{u}</math>　ただし、<math>\overline{u}=\sum_{k=1}^{n}u_k \frac{f_k}{N}</math>
** また、このときの標準偏差''s'':
**:<math>s = cs_u</math>　ただし、<math>s_u^2 = \sum_{k=1}^{n} (u_k - \overline{u})^2 \frac{f_k}{N} </math>
*分散 <math>V(X) = E[\{X-E(X)\}^2]</math> について、
*:<math>V(X) = E(X^2)-E(X)^2</math>
*標準偏差 <math>\sigma (X)</math>について、
*:<math>\sigma(X) = \sqrt{V(x)}</math>
*共分散 <math>\operatorname{Cov}(X,Y) = E[\{X-E(X)\}\{Y-E(Y)\}]</math>について、
*:<math>\operatorname{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)</math>
*<math>E(X+Y) = E(X) + E(Y)</math>
*<math>E(aX) = aE(X)</math> (期待値の線形性)
*<math>V(aX) = a^2V(X)</math>

<math>X,Y</math> の相関係数 <math>\rho</math> について
: <math>\rho = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma(X) \sigma(Y)}</math>

確率変数 <math>X,Y</math> に対し、 <math>P(X < a, Y < b) = P(X < a) P(Y < b)</math> が成り立つとき、またそのときに限り、 <math>X,Y</math> は独立であるという。

<math>X,Y</math> が独立のとき

* <math>E(XY) = E(X)E(Y)</math>
* <math>V(X + Y ) = V(X) + V(Y)</math>
* <math>\operatorname{Cov}(X,Y) = 0</math>

=== 確率分布・二項分布 ===
*確率変数Xが値<math>x_k</math>を取りうる確率が<math>p_k</math>である確率分布の期待値<math>E(X)</math>:
*:<math>E(X) = \sum_{k=1}^{n}x_kp_k</math>
*二項分布<math>B(n, p)</math>について、
*:<math>X \sim B(n, p) \iff P(X=r) = {}_n \! C_r p^r q^{n-r}</math> 
*:ただし<math>q=1-p</math>である。
*確率変数<math>X</math>が二項分布<math>B(n\ ,\ p)</math>に従う場合の平均値<math>E(X)</math>, 分散<math>V(X)</math>, 標準偏差<math>\sigma(X)</math>:
*:<math>\ E(X) = np\ </math>
*:<math>\ V(X) = npq\ </math>
*:<math>\ \sigma(X) = \sqrt{npq}</math>
=== 連続型確率変数・正規分布 ===
*連続型確率変数の確率密度関数が<math>f(x)</math>であるとき、
*:<math>f(x) \nless 0</math>
*:<math>P(a \leqq X \leqq b) = \int_{a}^{b} f(x) dx</math>
*:<math>f(x)</math>の定義域が<math>[\alpha, \beta] \iff \int_{\alpha}^{\beta} f(x) dx = 1 </math>
*:平均：<math>\mu = \int_{\alpha}^{\beta} xf(x) dx</math>
*:分散：<math>\sigma^2 = \int_{\alpha}^{\beta} (x-\mu)^2 f(x) dx</math>
* 平均 <math>\mu</math> ,分散 <math>\sigma^2</math> の正規分布 <math>N(\mu,\sigma^2)</math> に従う確率変数の確率密度関数 <math>f(x)</math> は <math>f(x) = \frac 1 \sqrt{2\pi \sigma^2} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}</math>

* <math>n</math> が十分に大きいとき、<math>X \sim B(n\ ,\ p)</math>ならば近似的に <math>X \sim N(np,npq)</math>。
* 確率変数 <math>X</math>について<math>X \sim N(\mu,\sigma^2)</math> のとき、<math>Z = \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)</math>。
** <math>p(u) = P(0 \leqq Z \leqq u) = P(-u \leqq Z \leqq 0)</math>
** <math>P(-u \leqq Z \leqq u) = 2p(u)</math>
** <math>P(Z \leqq 0) = P(Z \geqq 0) = 0.5</math>
** <math>P(|Z|\le 1.96) = 0.95</math>
** <math>P(|Z|\le 2.58) = 0.99</math>

===標本調査===
*大きさNの標本の確率変数Xについて、
*:<math>P(X=x_k)=\frac{f_k}{N}</math>
*<math>N=n</math>のとき
*:母平均：<math>E(X) = \mu</math>
*:母分散：<math>V(X) = \sigma^2</math>
*:標本平均：<math>\overline{X} = \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k}{n}</math>
*:標本分散：<math>S^2 = \sum_{k=1}^{n} \frac{(X_k - \overline{X})^2}{n}</math>
*母標準偏差が不明なとき
*:近似的に<math>\sigma = S</math>
*復元抽出の場合
*:<math>E(\overline{X}) = \mu</math>
*:<math>V(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n}</math> 
*nが十分大きいとき
*:近似的に<math>\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})</math>
*母集団分布が正規分布のとき
*:常に<math>\overline{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})</math>

*ある特性を持つ要素の個数がTであり、その母比率をpとするとき、
*:標本比率：<math>R = \frac{T}{n}</math>
*:<math>T \sim B(n, p)</math>
*:近似的に<math>R \sim N(n, \frac{pq}{n})</math>

*母集団の要素の個数がMのとき、
*:<math>\lim_{N \to M} \overline{X} = \mu</math>（大数の法則）

===区間推定===
*母平均の信頼区間
*:信頼度95%：<math>[\overline{X}-1.96\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} ,  \overline{X}+1.96\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]</math>
*:信頼度99%：<math>[\overline{X}-2.58\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} ,  \overline{X}+2.58\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]</math>
*母比率の信頼区間
*:信頼度95%：<math>[R-1.96 \sqrt{\frac{RQ}{n}}, R+1.96 \sqrt{\frac{RQ}{n}} ]</math>
*:信頼度99%：<math>[R-2.58 \sqrt{\frac{RQ}{n}}, R+2.58 \sqrt{\frac{RQ}{n}} ]</math>
*:ただし<math>Q = 1-R</math>

===仮説検定===
*帰無仮説を<math>H_0</math>、有意水準を<math>\alpha</math>、<math>H_0</math>の状況で事象が起こる確率をpとしたとき、
*:<math>p \leqq \alpha</math>ならば<math>H_0</math>を棄却する。
*:<math>p > \alpha</math>ならば<math>H_0</math>を採択する。
*第一種の過誤が起こる確率Pについて、
*:<math>P = \alpha</math>

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