初等数学公式集/初等幾何/表面積のソースを表示

このページでは立体図形の表面積等の公式についての解説をします。

==直方体の表面積==
<math>S = 2(ab + bh + ha)</math>

=== 直方体の底面積 ===
<math>B = ab</math>

=== 直方体の側面積 ===
<math>A = a{h}(a + b)</math>

== 立方体の表面積 ==
<math>S = 6{a}^2</math>

== 柱体の側面積 ==
<math>S = lh</math>

== 直角三角錐(3直角四面体) ==
[[File:2D-simplex.svg|right|200px|thumb|直角三角錐(3直角四面体)]]
三角錐<math>OABC</math>において，1つの頂点<math>O</math>に集まる3つの角 <math>\angle AOB</math> ， <math>\angle BOC</math> ， <math> \angle COA</math> がいずれも直角である三角錐を直角三角錐(3直角四面体)と定義し、<math>OA=a, OB=b, OC=c</math>（ただし<math>abc\neq{0}</math>とする）であるものとする。
:
:<math>\angle AOB</math> ， <math>\angle BOC</math> ， <math> \angle COA</math> より、この立体の各頂点は、<math>O</math><math>(0,0,0)</math>,　<math>A</math><math>(a,0,0)</math>,　<math>B</math><math>(0,b,0)</math>,　<math>C</math><math>(0,0,c)</math>とおける。
:3点 <math>x</math>切片<math>(a, 0, 0)</math>, <math>y</math>切片<math>(0, b, 0)</math>, <math>z</math>切片<math>(0, 0, c)</math>を通る平面<math>P</math>の式は、
:<math>P: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1</math>である。 - [[初等数学公式集/解析幾何#平面の式]]参照

:原点<math>O</math><math>(0, 0, 0)</math>と平面<math>P: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c} -1=0</math>の距離<math> h</math>:
::<math>h = \frac {|-1|}{ \sqrt { \frac {1}{a^2} + \frac {1}{b^2} + \frac {1}{c^2}}} = \frac {1}{ \sqrt { \frac {a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2}{a^2 b^2 c^2}}} = \frac {abc}{ \sqrt {a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2}}</math>

三角錐<math>OABC</math>の体積を<math>V</math>とすると、<math>V=\frac {abc}{6}</math>
:ここで、<math>\triangle ABC</math>の面積<math>S</math>とすると、<math>V=\frac {hS}{3}</math>であり、従って、<math>S=\frac {abc}{2h}</math>
:<math>S=\frac {abc}{2}  \dot  \frac { \sqrt {a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2}}{abc} = \frac { \sqrt {a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2}}{2}</math>


*両辺2乗すると、
*:<math>S^2= \left(\frac {ab}{2}\right)^2 + \left(\frac {bc}{2}\right)^2 + \left(\frac {ca}{2}\right)^2</math>
*:　
*:即ち、<math>S_{\triangle ABC} ^2= S_{\triangle OAB} ^2 + S_{\triangle OBC} ^2 + S_{\triangle OCA} ^2</math>が成立している。これは、三平方の定理を3次元空間に拡張したものと言え[[w:ド・グアの定理|ド・グアの定理]]通称「四平方の定理」と言われる。

== 球の表面積・冠形/球台の曲線部の表面積 ==
=== 球の表面積 ===
#[[初等数学公式集/初等幾何/体積#球の体積|球の体積]]より
#:<math>V = \frac{4}{3}\pi r^3</math>
#:これを、<math>r</math>について微分すると、<math>\frac{dV}{dr} = 4\pi r^2</math>
#:　
#<span id="球表面積"/>積分による方法
#:<math>x^2 + y^2 + z^2 = r^2</math>である球から、<math>z = 0</math>で切断した面を想定する。
#:原点から成す角を<math>\theta</math>として円周上の点<math>A (r \cos \theta, r \sin \theta)</math>とし、<math>\theta</math>をわずかに<math>d\theta</math>変化させた<math>A' (r \cos (\theta + d\theta), r \sin (\theta  + d\theta))</math>を考える。この時、<math>AA'</math>の距離は、<math>d \theta</math>がわずかな値であるため、<math>rd \theta</math>に近似される。
#:ここで、<math>AA'</math>を<math>x</math>軸を中心に回転させると、<math>A,A'</math>各々が、周の長さ<math>2 \pi r \sin \theta, 2 \pi r \sin (\theta  + d\theta)</math>である帯状の図形を得、
#:その面積は、<math>s =\frac{1}{2} ( 2\pi r \sin \theta + 2 \pi r \sin (\theta  + d\theta) )\cdot rd \theta</math>
#:<math>d \theta</math>は微小で限りなく<math>0</math>に近づくため、加算において<math>\sin \theta = \sin (\theta  + d\theta) </math>としてよく、その結果、<math>s =2\pi r^2 \sin \theta d \theta</math>とおける。
#:ここで、<math>\theta</math>について、区間<math>\left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]</math>で積分することにより、球の<math>x \ge 0</math>の部分の表面積が得られる。
#:<math>S_{hemi} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\pi r^2 \sin \theta d \theta</math><math>= 2 \pi r^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta d \theta</math><math>=- 2 \pi r^2 \left[\cos \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} </math><math>= 2 \pi r^2</math>
#:　　
#:この球は<math>x = 0</math>について対称であり、<math>x < 0</math>の部分の表面積も等しいので、<math>S = 2S_{hemi} = 4 \pi r^2</math>   
#:　
#:*積分を使った誤答の例
#:*:<math>x^2 + y^2 + z^2 = r^2</math>である球を考える。
#:*:<math>x = t</math>でこの球を切断すると、半径<math>\sqrt{r^2-t^2}</math>である円;<math>C</math>を得、この円;<math>C</math>の円周は<math>2\pi \sqrt{r^2-t^2}</math>である。
#:*:球の表面積は、この<u>周に微細な幅<math>dt</math>をかけた<math>2\pi \sqrt{r^2-t^2} dt</math></u><sup>※</sup>を区間<math>[-r,r]</math>で累積したものであるから、その区間で積分することにより得られる。
#:*:<math>S = \int_{-r}^{r} 2\pi \sqrt{r^2-t^2}\,dt </math><math>= 4\pi \int_{0}^{r} \sqrt{r^2-t^2}\,dt </math>
#:*::<math>t = r \sin \theta</math>とおく、微分して<math>dt = r \cos \theta d\theta</math>
#:*::（与式）<math>= 4\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^2-r^2 \sin^2 \theta} \cdot r \cos \theta d\theta </math><math>= 4\pi r^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1- \sin^2 \theta} \cdot \cos \theta d\theta </math> <math>= 4\pi r^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos^2 \theta} \cdot \cos \theta d\theta </math>
#:*::<math>= 4\pi r^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d\theta </math><math>= 4\pi r^2 \left[ \frac{2\theta + \sin 2\theta}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}</math><math>= \pi^2 r^2</math> 
#:*:::となって、誤答を得る。これは、「周に微細な幅<math>dt</math>をかけたもの（※）」の面積は、正しくは、<math>\frac{1}{2} \left( 2\pi \sqrt{r^2-t^2} + 2 \pi \sqrt{r^2-(t+dt)^2} \right) dt</math>であって、括弧内後項の<math>dt</math>は積分において無視できなくなることの立式の誤りである。
#:*:　　　
=== 冠形の曲線部の表面積 ===
[[File:Spherical cap diagram.tiff|thumb|200px|球冠]]
* [[w:球冠|球冠]]（平面により切断された球の一部）の曲面部の表面積<math>S</math>:
*:関係する諸数値を以下のものとする（右図参照）。
*:* 球の半径 <math>r</math>
*:* 球冠の底の半径 <math>a</math>
*:* 球冠の高さ <math>h</math>
*:* 球の中心から球冠の頂点（極）までの線と球冠の底を形作る円板の端との間の[[w:球面座標系|極角]] <math>\theta</math>
#[[w:球面座標系|極角]] <math>\theta</math>が与えられている場合
#:上記の[[#球表面積|球の表面積を積分を用い求める解法]]を用い、区間<math>\left[ 0,\theta \right]</math>で積分することで求められる。
#:<math>S = 2 \pi r^2 \int_{0}^{\theta} \sin x dx</math><math>=- 2 \pi r^2 \left[\cos x \right]_{0}^{\theta} </math><math>= 2 \pi r^2(1-\cos \theta)</math>（※2）
#<math>r</math> と <math>h</math> が与えられている場合
#:<math>\cos \theta = \frac{r-h}{r}</math>であるから、※2に代入して、<math>S = 2 \pi r^2(1-\cos \theta)</math><math>= 2 \pi r^2 \left( 1- \frac{r-h}{r} \right)</math><math>= 2 \pi r^2 \left( \frac{r - r + h}{r} \right)= 2 \pi r h</math>（※3）
#<math>a</math> と <math>h</math> が与えられている場合
#:<math>r^2 = a^2 + (r-h)^2</math>から、<math>r = \frac{a^2 + h^2}{2h}</math>
#:※3に代入して、<math>S = 2 \pi r h</math><math>S = 2 \pi h \left( \frac{a^2 + h^2}{2h} \right)</math><math>=\pi (a^2 + h^2)</math>（※4）
{{-}}
=== 球台の曲線部の表面積 ===
[[File:LaoHaiKugelschicht1.png|thumb|球台]]
* [[w:球台|球台]]（球を1対の平行な平面で切断した立体/先端が切り取られた球冠）の曲面部（球帯）の表面積<math>S</math>:
*:関係する諸数値等を以下のものとする（右図参照）。
*:* もとの球の半径 <math>R</math>、球の中心を<math>O</math>
*:* 球台の底の各々の半径 <math>r_1, r_2</math>、底の中心を各々<math>A, B</math>、直線<math>AB</math>と球との交点を<math>C, D</math>とする、なお<math>DABC</math>の順に並ぶ。
*:* 球台の高さ（2つの平行な底面間の距離） <math>H</math>
# <math>R</math> と <math>r_1, r_2</math> が与えられている場合
## 球を切断する平行な2平面の外に球の中心がある場合（ただし、<math>r_1 > r_2</math>）
##:中心<math>A</math>の円が底である冠形について、高さ<math>AC</math>は、<math>R-\sqrt{R^2 - r_1^2}</math>
##:※4より、この冠形の曲面部表面積<math>S_A</math>は、<math>\pi (r_1^2 + AC^2)</math><math>=\pi \left(r_1^2 + \left({R-\sqrt{R^2 - r_1^2}}\right)^2\right)</math><math>=\pi \left(r_1^2 + R^2-2R\sqrt{R^2 - r_1^2}+R^2 - r_1^2\right)</math><math>=\pi \left(2R^2-2R\sqrt{R^2 - r_1^2}\right)</math>
##:同様に、中心<math>B</math>の円が底である冠形の曲面部表面積<math>S_B</math>は、<math>=\pi \left(2R^2-2R\sqrt{R^2 - r_2^2}\right)</math>
##:求める球台の曲面部表面積は、これらの球冠の曲面部表面積の差であるから、
##:<math>S_A-S_B</math><math>=\pi \left(2R^2-2R\sqrt{R^2 - r_1^2}\right)-\pi \left(2R^2-2R\sqrt{R^2 - r_2^2}\right)</math><math>= 2 \pi R \left( \sqrt{R^2 - {r_2}^2} - \sqrt{R^2 - {r_1}^2} \right)</math>（※5）
## 球を切断する平行な2平面の外に球の中心がある場合
##:<math>O</math>を通る<math>CD</math>と直行する平面で球を分割。
##:中心<math>A</math>の円と分割によりできた円を各々底とする球台の曲面部表面積は、半球の曲面部表面積から中心<math>A</math>の円が底である冠形の局面部表面積を引いたものであるので、
##:<math>S_A =2\pi R^2 - \pi \left(2R^2-2R\sqrt{R^2 - r_2^1}\right)</math><math>=2 \pi R \left( \sqrt{R^2 - r_1^2} \right)</math>
##:同様に<math>S_B = 2 \pi R \left( \sqrt{R^2 - r_2^2} \right)</math>
##:したがって、<math>S = S_A + S_B = 2 \pi R \left( \sqrt{R^2 - {r_1}^2} + \sqrt{R^2 - {r_2}^2} \right)</math>（※6）
# <math>R</math> と <math>h</math> が与えられている場合
#:以下により、<math>S = 2 \pi R h</math>
##点の順が<math>OABC</math>である時、
##:<math>h=OB-OA</math>であるので、上の例同様、球台の底のうち、<math>A</math>を中心とする円の半径を<math>r_1</math>、<math>B</math>を中心とする円の半径を<math>r_2</math>とすると、
##:<math>h=OB-OA=\sqrt{R^2 - {r_2}^2} - \sqrt{R^2 - {r_1}^2}</math>
##:※5に代入して、<math>S = 2 \pi R h</math>
##点の順が<math>AOBC</math>である時、
##:<math>h=OA+OB</math>であるので、上の例同様、球台の底のうち、<math>A</math>を中心とする円の半径を<math>r_1</math>、<math>B</math>を中心とする円の半径を<math>r_2</math>とすると、
##:<math>h=OA+OB=\sqrt{R^2 - {r_1}^2} + \sqrt{R^2 - {r_2}^2}</math>
##:※6に代入して、<math>S = 2 \pi R h</math>
{{-}}

== 円環体（トーラス）の表面積 ==
[[File:Torus-rotations-flaeche-r.svg|right|250px|thumb|円環体・トーラス]]
半径<math>r</math>の円;<math>C</math>を、円の中心からの距離<math>R</math>（但し、<math>r</math>　≦　<math>R</math>とする）の直線を軸として回転させた円環体（[[w:トーラス|トーラス]]、ドーナツ型）の表面積
:<math>S = 4 \pi^2 rR = (2 \pi r) (2 \pi R)</math>

:[[初等数学公式集/初等幾何/体積#円環体（トーラス）の体積|体積の公式]];<math>V = 2 \pi^2 r^2 R</math>に関して、半径<math>r</math>について微分することにより得られる。


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