初等数学公式集/初等代数/剰余計算・例題・特殊な剰余計算のソースを表示

== 特殊な剰余の計算 ==
:'''<math>x^m</math>を<math>n</math>次式<math>f(x)</math>(ただし、<math>m > n</math>)で割った剰余。'''
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:'''設問例'''
:<math>x^{2023}-1</math>を<math>x^4 + x^3 + x^2 + x + 1</math>で割った余りを求めよ。(京都大学 理系数学 2023年 第1問問2)
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:'''解法'''
::（解答の方針）
:::[[初等数学公式集/初等代数#特殊除法|「公式集」より]]除多項式を、<math>x^n</math>の式が出てくるように変形する。
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::<math>f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1</math>とする。
::<math>x-1</math>をかけると、<math>(x-1)f(x) = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = x^5 - 1</math>
::<math>x^5 = (x-1)f(x) + 1</math>
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::<math>x^{2023} = x^{5 \cdot 404 \cdot 3} = ((x-1)f(x) + 1)^{404} x^3</math>（※）
:::2項定理より、<math>((x-1)f(x) + 1)^{404} =((x-1)f(x))^{404} + 404 ((x-1)f(x))^{403} + \cdots + 404 ((x-1)f(x)) + 1</math>、
:::定数項以外は<math>(x-1)f(x)</math>を共通因数に持つので、定数項以外の項を、<math>(x-1)f(x)G(x)</math>と表すことができ、  
::※<math> = ((x-1)f(x)G(x) + 1) x^3 = x^3(x-1)f(x)G(x) + x^3</math> となる。
::前項は<math>f(x)</math>を含む式であるため、<math>x^{2023}-1</math>を<math>x^4 + x^3 + x^2 + x + 1</math>で割った余りは、<math>x^3-1</math>となる。 
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