初等数学公式集/初等代数/交代式・例題1のソースを表示

<math>x+\frac{1}{x}=1 </math>であるときの、<math>x^n+\frac{1}{x^n}</math>の性質。
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:'''設問例'''
:<math>x+\frac{1}{x}=1 </math>であるとき<sup>[[#※1|※1]]</sup>、<math>x^{2023}+\frac{1}{x^{2023}}</math>の値を求めよ<sup>[[#※2|※2]]</sup>。
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:'''解法'''
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:<math>x+\frac{1}{x}=1 </math>ならば、
::<math>x^2+\frac{1}{x^2} = \left(x+\frac{1}{x}\right)^2 -2 = -1</math>
::<math>x^3+\frac{1}{x^3} = \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right) \left(x+\frac{1}{x}\right) -\left(x+\frac{1}{x}\right) = -1 -1 = -2</math>
::<math>x^4+\frac{1}{x^4} = \left(x^3+\frac{1}{x^3}\right) \left(x+\frac{1}{x}\right) -\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right) = -2 -(-1) = -1</math>
::<math>x^5+\frac{1}{x^5} = \left(x^4+\frac{1}{x^4}\right) \left(x+\frac{1}{x}\right) -\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right) = -1 -(-2) = 1</math>
::<math>x^6+\frac{1}{x^6} = \left(x^5+\frac{1}{x^5}\right) \left(x+\frac{1}{x}\right) -\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right) = 1 -(-1) = 2</math>
::<math>x^7+\frac{1}{x^7} = \left(x^6+\frac{1}{x^6}\right) \left(x+\frac{1}{x}\right) -\left(x^5+\frac{1}{x^5}\right) = 2 -(1) = 1</math>
::<math>x^8+\frac{1}{x^8} = \left(x^7+\frac{1}{x^7}\right) \left(x+\frac{1}{x}\right) -\left(x^6+\frac{1}{x^6}\right) = 1 -(2) = -1</math>
::<math>x^9+\frac{1}{x^9} = \left(x^8+\frac{1}{x^8}\right) \left(x+\frac{1}{x}\right) -\left(x^7+\frac{1}{x^7}\right) = -1 -(1) = -2</math>
::<math>x^{10}+\frac{1}{x^{10}} = \left(x^8+\frac{1}{x^9}\right) \left(x+\frac{1}{x}\right) -\left(x^8+\frac{1}{x^8}\right) = -2 -(-1) = -1</math>
::::::<math>\vdots</math>
:となり、<math> 1 \to -1 \to -2 \to -1 \to 1 \to 2 \to 1 \to -1 \to -2 \to -1 \dots</math>と<math>6</math>を循環節として循環していることがわかる（予想される（厳密な解答は後述））。
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:<math>x^n+\frac{1}{x^n} = a_n</math>として、<math>6</math>を循環節とする循環は以下により証明される。
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::<math>a_n = x^n+\frac{1}{x^n} = \left(x^{n-1}+\frac{1}{x^{n-1}}\right) \left(x+\frac{1}{x}\right) -\left(x^{n-2}+\frac{1}{x^{n-2}}\right) =  a_{n-1} - a_{n-2}</math>
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::<math>a_n = a_{n-1} - a_{n-2} = a_{n-2} - a_{n-3} - a_{n-2} = -a_{n-3} = -a_{n-4} + a_{n-5} = -a_{n-5} + a_{n-6} + a_{n-5} = a_{n-6}</math>
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:::<math>n</math>を<math>6</math>の剰余で場合分けする（<math>n = 6k + m</math>）と以下のとおりとなる。
::::<math>a_{6k+1} = a_1 = 1</math>
::::<math>a_{6k+2} = a_2 = -1</math>
::::<math>a_{6k+3} = a_3 = -2</math>
::::<math>a_{6k+4} = a_4 = -1</math>
::::<math>a_{6k+5} = a_5 = 1</math>
::::<math>a_{6k} = a_6 (= a_0 )= 2</math>
:この性質を用いて、設問を解くと、<math>2023=337\cdot 6 + 1</math>であるので、<math>x^{2023}+\frac{1}{x^{2023}} = 1</math>となる<sup>[[#※3|※3]]</sup>。
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:'''厳密な解法'''
:条件式;<math>x+\frac{1}{x}=1</math>は、<math>x^2-x+1=0</math>と変形できる。<math>(x+1)</math>をかけると<math>x^3 +1 = 0</math>という式が得られる (ただし、<math>(x+1)</math>は、便宜的に導入した式なので<math>x\neq -1</math>となる)<sup>[[#※1|※1]]</sup>。
:すなわち、<math>x^3=-1 (x\neq -1)</math>となるが、ここで、累乗した値の絶対値が<math>1</math>である性質<sup>[[#※3|※3]]</sup>に注目し、<math>x = \cos \theta + i \sin \theta  (-\pi \le \theta \le \pi)</math>とおいて、[[ド・モアブルの定理]]を利用すると、
:<math>x^3 = (\cos \theta + i \sin \theta)^3 = \cos 3\theta + i \sin 3\theta =-1</math>となる。
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: <math>\begin{cases}
 \cos 3\theta = -1\\
 \sin 3\theta = 0
\end{cases}</math>  <math>(-\pi \le \theta \le \pi)</math>を解いて、<math>\theta = \frac{\pi}{3} , -\frac{\pi}{3}</math>を得る。
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:<math>x = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} , \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3})</math>となる。
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:一方、<math>\frac{1}{x}= x^{-1} = \cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}) , \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}</math>
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:<math>x^n+\frac{1}{x^n} = (\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3})^n + (\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}))^n, (\cos(-\frac{\pi}{3}) + i \sin(-\frac{\pi}{3}))^n + (\cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3})^n </math>: 同値となる。
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::::<math>= \cos \frac{n\pi}{3} + i \sin \frac{n\pi}{3} + \cos(-\frac{n\pi}{3}) + i \sin(-\frac{n\pi}{3})</math>
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::::<math>= \cos \frac{n\pi}{3} + i \sin \frac{n\pi}{3} + \cos \frac{n\pi}{3} - i \sin \frac{n\pi}{3} = 2\cos \frac{n\pi}{3}</math>
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:<math>\cos \frac{n\pi}{3}</math>は、<math>n</math>を<math>6</math>で割った余りが<math>\{0,1,2,3,4,5\}</math>であるとき、<math>\{1,\frac{1}{2},-\frac{1}{2},-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\}</math>となるため、<math>x^n+\frac{1}{x^n}</math>は、<math>n</math>を<math>6</math>で割った余りが<math>\{0,1,2,3,4,5\}</math>であるとき、<math>\{2,1,-1,-2,-1,1\}</math>となる<sup>[[#※3|※3]]</sup>。
==脚注==
#<span id="※1"></span>惑わせるため、以下のような条件式で提示されることもある。
#:<math>x^3 +1 = 0</math> (ただし、<math>x\neq -1</math>とする)
#<span id="※2"></span>入試問題などでこのような大きな数を計算させることはないので、「多分、剰余を使った問題に帰結させるんだな」と予想を立てて解く。
#<span id="※3"></span>と、しかつめらしく解説したが、よく考えれば、<math>x+\frac{1}{x}=1 </math>より、<math>x^3+1=0</math>、すなわち<math>x^3=-1</math>、負号を消すため2乗して<math>x^6=1</math>が得られるので、指数を6で割った余りで判定すれば足りる問題であった。
#<span id="※4"></span>条件式が、<math>x+\frac{1}{x}=-1</math>、即ち、<math>x^3=1</math> (ただし、<math>x\neq 1</math>とする)である類似問題も作れる。とは言え、これも<math>x^3=1</math>となるので、指数を3で割った余りで判定すれば足りる問題。
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