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ここでは体論について解説する。

== 体の定義 ==
=== 定義 ===
[[環論]]で述べたように、体とは任意の元が単元である可換環のことである。念のためここにも公理的に書けば、下のとおりである。

'''公理'''　集合''K''が体であるとは、加法と乗法という二つの演算が定義されていて、次が成り立つことである。
#<math>a,b,c \in K \Rightarrow (a+b)+c=a+(b+c)</math>
#<math>\exist 0 \in K \ s.t. \ \forall a \in K , \ a+0=0+a=a</math>
#<math>\forall a \in K \exist -a \in K \ s.t. \ a +(-a)=0</math>
#<math>a,b\in K \Rightarrow a+b=b+a</math>
#<math>a,b,c \in K \Rightarrow (ab)c=a(bc)</math>
#<math>\exist 1 \ s.t. \ \forall a \in K \ a1=1a=a</math>
#<math>\forall a \in K \smallsetminus  \{ 0 \}, \exist a^{-1} \in K \ s.t. \ a a^{-1}=1</math>
#<math>a,b\in K \Rightarrow ab=ba</math>
#<math>a,b,c \in K \Rightarrow (a+b)c=ac+bc, a(b+c)=ab+ac</math>
#<math>0\ne 1</math>

=== 標数 ===
[[環論]]において任意の環は <math>\mathbb{Z}</math> -代数であることをみた。特に体 <math>K</math> も環であるので、自然な環準同型 <math>f:\mathbb{Z} \to K</math> がある。このとき、<math>\mathbb{Z}</math> は PID であることから、ある非負整数 <math>n</math> を用いて <math>\ker f= n\mathbb{Z}</math> と書ける。この <math>n</math> を体 <math>K</math> の'''標数'''という。

<math>K</math> の標数が <math>n</math> のとき、<math>\forall x \in K \ f(n) \cdot x =0</math> である。すなわち、<math>K</math> の任意の元は <math>n</math> 回足すと（<math>n</math> 倍すると）<math>0_K</math> になる。標数とは、そのような数と理解することができる。 <math>\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}</math> の元はどんな正整数をかけても<math>0</math> にはならない。すなわち標数は<math>0</math>である。

'''命題'''　体の標数は <math>0</math> か素数である。
:（証明）<br/> 体 <math>K</math> の標数 <math>n</math> が <math>n=n_1n_2 (n_1,n_2 >0,n_1,n_2 \ne 1)</math>と分解すると仮定すると、<math>K</math> において、
::<math>1_K = \frac{n_1}{n_1}\frac{n_2}{n_2} \cdot 1_K = n_1 n_2 \frac{1}{n_1} \frac{1}{n_2} \cdot 1_K = 0_K</math>
:ととなり、公理 10. と矛盾する。したがって体の標数は <math>0</math> か素数である。

もっとも、これでは体の標数の必要条件を調べただけである。標数0の体が存在することは確かめたが、各素数に対してその素数を標数とする体は存在するだろうか？結論を先に言えば、存在する。

'''命題'''　素数''p''に対して<math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>は（標数''p''の）体である。
:（証明）<br />''p''と互いに素な任意の整数''a''に対して、ある整数''m'',''n''が存在して
::<math>am+pn=1</math>
:とできる。これを標準的な全射で<math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>に移すことで、
::<math>\bar{a}\bar{m}=1</math>
:であることがわかる。すなわち、<math>\bar{a}^{-1}=\bar{m}</math>が存在する。

== 体の拡大 ==
群においては部分群、環においては部分環という概念があったように、体にも部分体という概念がある。

'''定義'''　体 <math>K,L</math> が <math>K \subset L</math> となっており、両者の演算と単位元が一致するとき、<math>K</math> は <math>L</math> の部分体、<math>L</math>は <math>K</math> の拡大体であるという。またこのとき、「<math>L/K</math> は体の拡大である」という。

拡大の記号は商の記号と若干紛らわしいが、混同するおそれはほとんどない<ref>体のイデアルは自明なものしかないので、イデアルによる剰余環を考える意味はほとんどないからである。</ref>。

'''命題'''　体の拡大 <math>L/K</math> があるとき、<math>L</math> は <math>K</math> 上の線型空間である。
:（証明）<br/> [[線型代数学/線型空間#線型空間の公理]]の 5.～8. を満たす。//
<br/>
この線型空間が有限次元のとき、<math>L/K</math> は有限次拡大であるという。このときこの線型空間の次元を <math>[L:K]</math> と書き、この拡大の拡大次数と呼ぶ。
<br/>

'''補題'''　<math>L</math> を体とする。ある添字集合 <math>\Lambda</math> があって，任意の <math>\lambda \in \Lambda</math> に <math>L</math> の部分体 <math>K_\lambda</math> が対応しているとする。これらの共通部分 <math>K := \bigcap_{\lambda \in \Lambda} K_\lambda</math> は <math> L </math> の部分体である。
:（証明）<br/> <math>a,b \in K</math> とすると，任意の<math> \lambda \in \Lambda</math> について<math> a, b \in K_\lambda</math> あり、<math>K_\lambda</math> は体であるから，<math> a + b \in K_\lambda, ab \in K_\lambda</math> である．さらに <math>a \ne 0</math> ならば <math>a^{-1} \in K_\lambda</math>である．以上により <math>a+b, ab \in K</math> ，<math>a \ne 0</math> ならば <math>a^{-1} \in K</math> //
<br/>

<math>L</math> を体 <math>K</math> の拡大体として，<math>\alpha_1, ... , \alpha_n \in L</math> とする．このとき <math>K</math> と <math>\alpha_1, ... , \alpha_n</math> を含むような <math>L</math> の部分体のうち最小のものが存在する．実際 <math>K</math> と <math>\alpha_1, ... , \alpha_n</math> を含むような <math>L</math> の<u>すべての部分体</u>を考え，それらの共通部分をとればよい．この体を <math>K(\alpha_1, ... , \alpha_n)</math> と表して，<b><math>K</math> に <math>\alpha_1, ... , \alpha_n</math> を添加した体</b>，または <b><math>K</math> 上 <math>\alpha_1, ... , \alpha_n</math> で生成される体</b>という．特に <math>n=1</math> のとき，<math>K(\alpha_1)</math> を <math>K</math> の<b>単純拡大（体）</b>という．
<br/>

'''命題'''　体 <math>K</math> の元を係数とする多項式 <math>f(x)</math> が <math>K[x]</math> <ref>[[多項式環>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0]]</ref>で既約であれば，剰余環<ref>[[環論#剰余環]]</ref> <math>K[x]/(f(x))</math> は体である。
:（証明）零でない元 <math>\overline{g(x)} \in K[x]/(f(x))</math> が乗法に関して逆元を持つことを示せばよい。<math>f(x)</math> は既約多項式であるので，<math>\overline{g(x)} \ne 0 </math> であれば <math>f(x)</math> と <math>g(x)</math> は互いに素である。したがって，
:: <math> r(x)f(x) + s(x) g(x) =1 </math> 
:を満たす多項式 <math> r(x) , s(x) \in K[x] </math> が存在する。これにより <math> \overline{s(x)}\cdot \overline{g(x)} =1 </math>となり，<math> \overline{g(x)} \in K[x] </math> が乗法に関して逆元を持つ。//

<math>\phi: K \to K[x]/(f(x)) ; a \mapsto \overline{a} </math> は単射であり，体 <math>K</math>の構造を保つ。<math> \phi </math>によって、
<math> a </math> と <math> \overline{a} </math>を同一視することにより、<math> K/(f(x))</math> は <math>K</math>の拡大体である。

<references/>
'''定義'''　体 <math>K</math> の元を係数とする <math>n</math> 次多項式 <math>f(x)</math> の根 <math> \alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n </math> を <math>K</math> に添加してできる拡大体 <math>L = K(\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n )</math> を多項式 <math>f(x)</math> の（または方程式 <math>f(x) = 0 </math> の）<b>最小分解体</b>、または単に<b>分解体</b>という。

== 代数拡大 ==
<math>K</math> を体として、<math>K</math> 係数の多項式を任意に取ったとき、その根が <math>K</math> にあるとは限らない。しかし、<math>K</math> を拡大した体には根があるかもしれない。そのような類のことについて少し考えてみよう。

'''定義'''　<math>L/K</math> を体の拡大とする。
#<math>L</math> の元 <math>a</math> に対して、ある <math>0</math> でない <math>K</math> 係数の多項式 <math>f</math> があって <math> f(a)=0 </math> を満たすとき、<math>a</math> は <math>K</math> 上代数的であるという。そうでないとき <math>a</math> は <math>K</math> 上超越的であるという。
#<math>L</math> の任意の元が <math>K</math> 上代数的であるとき、<math>L</math> は <math>K</math> 上代数的であるといい、<math>L/K</math> は代数拡大であるという。そうでないとき、<math>L</math> は <math>K</math> 上超越的であるといい、<math>L/K</math> は超越拡大であるという。

簡単にわかる例として、<math>\mathbb{C}/\mathbb{R}</math> は代数拡大である。実際、任意の元<math>z=a+bi \in \mathbb{C}</math>を考えると、<math>\mathbb{R}</math>係数の多項式<math>f(x)=x^2-2ax+a^2+b^2</math>に対して<math>f(z)=0</math>が成り立つからである。一方、<math>\mathbb{C}/\mathbb{Q}</math> は超越拡大であることが知られている。

'''命題'''　有限次拡大は代数拡大である。
:（証明）<br/> <math>L/K</math> を <math>d</math> 次拡大とする。すると、<math>L</math> の元 <math>a</math> を任意に取ったとき、<math>d+1</math> 個の元 <math>1,a,a^2,...,a^d</math> は <math>K</math> 上一次独立ではない。すなわち、どれかひとつは <math>0</math> でない <math>K</math> の元の組 <math>(c_0,c_1,...,c_d)</math> で、<math>c_0+c_1a+c_2a^2+...+c_da^d=0</math> を満たすものが存在する。これは、<math>0</math> でない <math>K</math> 係数多項式 <math>c_0+c_1X+c_2X^2+...+c_dX^d</math> が<math>a</math> を根に持つということにほかならない。すなわち、<math>L</math> は <math>K</math> 上代数的である。//

'''例''' 有理数体 <math>\mathbb{Q}</math> の元 <math>D</math> を平方数でない，すなわち <math>\beta^2 = D</math> となる有理数 <math>\beta</math> が存在しないと，仮定する。
この仮定は <math>x^2 -D </math> が <math>\mathbb{Q}</math> 上で既約であることと同値である。このとき，
: <math>\mathbb{Q}[\sqrt{D}] = \{ a+b\sqrt{D} | a, b \in \mathbb{Q} \}</math>
は <math>D > 0</math> であれば <math>\mathbb{R}</math> の部分体であり、<math>D < 0</math> であれば <math>\mathbb{C}</math> の部分体であり、<math>\mathbb{Q}</math> の拡大体である。
:（証明）<br/>
:: <math> (a+b\sqrt{D}) + (a'+b'\sqrt{D}) = (a + a') + (b + b')\sqrt{D} </math>
:: <math> (a+b\sqrt{D}) \cdot (a'+b'\sqrt{D}) = (aa' + bb'D) + (ab'+ a'b)\sqrt{D} </math>
: であるので、<math>\mathbb{Q}[\sqrt{D}] </math> は、和と積に関して閉じている。また，
:: <math> -(a+b\sqrt{D}) = (-a)+(-b)\sqrt{D} \in \mathbb{Q}[\sqrt{D}] </math>
: となり、和に関する逆元も <math> \mathbb{Q}[\sqrt{D}] </math>に含まれている。さらに、
:: <math> (a + b\sqrt{D})^{-1} = \frac{1}{(a + b\sqrt{D})} = \frac{a -b \sqrt{D}}{ (a+b\sqrt{D})(a-b\sqrt{D}) } = \frac{a-b\sqrt{D}}{a^2 - b^2D} \in \mathbb{Q}[\sqrt{D}]</math>
: となり、積に関する逆元も <math> \mathbb{Q}[\sqrt{D}] </math>に含まれている。//

== 体の同型写像 ==
=== 中への同型 ===
'''定義'''　体 <math>L_1</math> から体 <math>L_2</math> への写像 <math>\phi : L_1 \to L_2</math> が次の条件を満たすとき，
体 <math>L_1</math> から 体 <math>L_2</math> の'''中への同型''' (into-isomorphism) という。
#<math>L_1</math> の任意の元 <math>a,b</math> に対して， <math>\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b)</math> かつ <math>\phi(ab) = \phi(a)\phi(b)</math>
#<math>L_1, L_2</math> の単位元をともに <math>1</math> と記すと <math>\phi(1) = 1</math>

'''命題'''　体 <math>L_1</math> から体 <math>L_2</math> への写像 <math>\phi : L_1 \to L_2</math> が，上記の1.を満たすならば，<math>\phi</math> は零写像すなわち，
<math>L_1</math> のすべての元 <math>a</math> に対して <math>\phi(a)=0</math> であるか，または，中への同型写像である。    
:（証明）<br /><math>\phi(1)=\phi(1 \cdot 1)= \phi(1)\phi(1)</math>であるから、<math>\phi(1)=1</math>または<math>\phi(1)=0</math>である。<math>\phi(1)=1</math>ならば<math>\phi</math> は中への同型写像である。一方<math>\phi(1)=0</math>であれば、任意の元<math>a \in L_1</math> に対して<math>\phi(a)=\phi(a \cdot 1)= \phi(a) \phi(1)= \phi(a)\cdot 0 =0</math>であるから、<math>\phi</math> は零写像である。//

'''命題'''
# 加法の単位元に関して、<math>\phi(0) = 0 </math>。
# 加法の逆元に関して、<math> \phi(-a) = -\phi(a) </math>。
# 乗法の逆元に関して、<math> a \ne 0 </math> ならば <math>\phi(a^{-1}) = \phi(a)^{-1}</math>。
:（証明）
# <math> \phi (0) = \phi (0 + 0) = \phi (0)  + \phi(0) </math> となり、両辺から <math> \phi (0) </math> を減じて <math> \phi (0) = 0 </math>。
# <math> 0 = \phi(0) = \phi(a - a) = \phi(a) + \phi(-a) </math> となり、<math> \phi(-a) = - \phi(a) </math>。
# <math> 1 = \phi(1) = \phi(aa^{1}) = \phi(a) \phi(a^{1}) </math> となり、<math> \phi(a^{-1}) = \phi(a)^{-1} </math>。//

'''命題'''　体 <math>L_1</math> から体 <math>L_2</math> への中への同型写像 <math>\phi : L_1 \to L_2</math>は単射である。
:（証明）<br/><math> \phi(a)=\phi(b)</math> とすると、<math>\phi(a)-\phi(b)=0</math> なので、<math>\phi(a-b)=0</math> である。<math>a-b \ne 0</math> ならば、<math>(a-b)^{-1} \in L_1</math> が存在する。<math>(a-b)(a-b)^{-1}=1</math> なので、<math>\phi(a-b)\phi((a-b)^{-1})=1</math> である。ところで、<math>\phi(a-b)=0</math> なので、<math>0=1</math>である。これは矛盾。よって、<math> \phi(a) = \phi(b)</math>ならば<math>a=b</math>である。すなわち、<math>\phi : L_1 \to L_2</math>は単射である。//

=== 上への同型 ===
'''定義'''　体 <math>L_1</math> から体 <math>L_2</math> への中への同型写像 <math>\phi : L_1 \to L_2</math> が全射でもあるとき，<math>\phi</math> は、<math>L_1</math> から <math>L_2</math> への'''上への同型''' (onto-isomorphisim) または '''全射同型 '''(surjective isomorphisim) または単に'''同型'''といい、<math>L_1</math> と 
<math>L_2</math> とは体として'''同型'''であるという。

'''定義'''　体 <math>L_1</math> と体 <math>L_2</math> が共通の部分体 <math>K</math> を持ち、中への同型写像 <math>\phi: L_1 \to L_2 </math> がさらに条件
# 任意の<math>a \in K</math> に対して <math>\phi(a)=a</math>
を満足するとき、<math>\phi</math> を ''' <math>K</math> 上の中への同型写像 ''' (into-isomorphism over <math>K</math>) という。

=== 自己同型 ===
'''定義'''　<math>K</math> 上の中への同型写像 <math>\phi:L_1 \to L_2</math> において，特に <math> L_1=L_2 </math> であり、<math> \phi</math> が <math> K </math> 上の全射同型写像であるとき、<math> \phi </math> を <math> L </math> の ''' <math>K</math> 上の自己同型 ''' (automorphismu over <math>K</math> )という。 
<math> L </math> の <math> K </math> 上の自己同型の全体を <math> \operatorname{Aut}_K(L) </math>と記す。

: <math>\operatorname{Aut}_K(L) = \{ \phi: L \to L \;|\; \phi(a) = a, \; a \in K \}
  </math>

'''命題'''　<math>\operatorname{Aut}_K(L)</math> は写像の合成によって群をなす。

'''命題'''　体 <math>K</math> の元を係数とする既約な <math>n</math> 次多項式 <math>f(x)</math> の根 <math>\alpha, \beta</math> に対して
: <math> \phi : K( \alpha ) \to K( \beta ) \; ; \; </math>
:: <math>  a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n-1} \alpha^{n-1} \mapsto a_0 + a_1 \beta + \cdots + a_{n_1} \beta^{n-1}, \; a_j \in K </math>
は <math>K</math> 上の同型写像である。
:（証明）<math> K(\alpha) </math> の2元 <math>u, v</math>を
:: <math> u = a_0 + a_1 \alpha + \cdots + a_{n-1} \alpha^{n-1} </math>
:: <math> v = b_0 + b_1 \alpha + \cdots + b_{n-1} \alpha^{n-1} </math> 
:: とすると、
::1. <math> \phi(u + v) = \phi( u ) + \phi(v) </math> は直ちに成り立つ。
::2. <math>u,v</math> に対応する多項式 <math>g(x), h(x)</math> を
::: <math> g(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1} </math>
::: <math> h(x) = b_0 + b_1 x + \cdots + b_{n-1} x^{n-1} </math> 
:: とおくと、
::: <math> u = g(\alpha) \; \mapsto \phi(u) = g(\beta) </math> 
::: <math> v = h(\alpha) \; \mapsto \phi(v) = h(\beta) </math> 
:: であり、二つの多項式の積を
::: <math>  g(x)h(x) = s(x)f(x) + e(x), \;\; \operatorname{deg} e(x) < \operatorname{deg} f(x) </math> 
:: と書くと、
::: <math>uv             = g(\alpha)h(\alpha) = s(\alpha)f(\alpha) + e (\alpha) = s(\alpha) \cdot 0 + e(\alpha) = e(\alpha) </math>
::: <math>\phi(u)\phi(v) = g(\beta)h(\beta)  = s(\beta) f(\beta)  + e (\beta)  = s(\beta)  \cdot 0 + e(\beta)   = e(\beta)  </math> 
:: である。したがって、<math> \phi( uv ) = e(\beta) = g(\beta)h(\beta) = \phi(u)\phi(v) </math> が成り立つ。 
::3. <math> a_0 \in K </math> に対しては <math> \phi (a_0) \mapsto a_0 </math> で恒等写像であるので，<math>\phi</math> は <math>K</math> 上同型写像である。//

'''定義'''　(ガロア群)
<math>L=K( \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n) </math> の <math>K</math> 上の自己同型の全体
<math>\operatorname{Aut}_K(L)</math> を <math>Gal (L/K) </math> または <math>G_f</math> と記し、
多項式 <math>f(x)</math> の ( または方程式 <math>f(x)=0</math>，あるいは分解体 <math>L</math> の <math>K</math> 上の )
'''ガロア群''' (Galois group) という。すなわち
:: <math> Gal (L/K) = \operatorname{Aut}_K(L)</math>
である。

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