中等教育前期の数学/幾何編/上巻/三角形の辺と角のソースを表示

==== 三角形の辺と角 ====
三角形の辺と角の大小関係について、次のようなことが言える。

{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:yellow"|'''三角形の辺と角の大小'''
|-
|style="padding:5px"|
<math>\triangle ABC</math> において
<center><math>AB<AC</math> ならば <math>\angle B > \angle C</math></center>
|}

* 証明

<math>AB<AC</math> とし、辺AC上に点Dを、 <math>AD=AB</math> となるようにとれば
:<math>\angle ABD = \angle ADB</math> ……(1)
ところで、<math>\angle ADB</math> は <math>\triangle DBC</math> の <math>\angle BDC</math> の外角だから
:<math>\angle ADB > \angle C</math> ……(2)
また、点Dは辺AC上にあるから
:<math>\angle B > \angle ABD</math> ……(3)
(1),(2),(3)より、<math>\angle B > \angle C</math>


* 逆(<math>\angle B > \angle C</math> ならば <math> AB<AC</math>　の証明）

<math>\angle B > \angle C</math> であって、<math>AB<AC</math> ではないとすると、次のどちらかが成り立つ。
:<math>AB=AC</math> ……(1)
:<math>AB>AC</math> ……(2)
(1)が成り立つとすると、二等辺三角形になるので、<math>\angle B = \angle C</math>

(2)が成り立つとすると、前半で示したとおり、<math>\angle B < \angle C</math>

どちらの場合も、仮定 <math>\angle B > \angle C</math> に反する。

よって、<math>AB<AC</math>でなければならない。(証明終)

よって、逆も成立する。なお、このような証明法を '''転換法''' という。

三角形の3辺について、次のようなことが言える。

{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:yellow"|'''三角形の2辺の和'''
|-
|style="padding:5px"|
三角形の2辺の和は、残りの辺よりも大きい。
|}

* 証明
<math>\triangle ABC</math> において、<math>AB+AC>BC</math> を証明する。

辺BAをAの方に延長し、その上に点Dを、<math>AD=AC</math> となるようにとる。

<math>\triangle ACD</math> は二等辺三角形であるから
:<math>\angle D = \angle ACD</math>
<math>\triangle BCD</math> において、点Aは辺BD上にあるから
:<math>\angle BCD > \angle ACD = \angle D</math>
よって、三角形の辺と角の大小関係より
:<math>AB+AC=AB+AD=DB>BC</math>


<math>\triangle ABC</math> の3辺の長さを、<math>BC=a\ ,\ CA=b\ ,\ AB=c</math> とすると、上の定理より次のことがわかる。
:<math>b+c>a\ ,\ c+a>b\ ,\ a+b>c</math> 

{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:yellow"|'''三角形の2辺の差'''
|-
|style="padding:5px"|
三角形の2辺の差は、残りの辺よりも小さい。
|}

* 証明
:<math>b+c>a\ ,\ c+a>b\ ,\ a+b>c</math> 
であるから、<math>b \geqq c</math> のとき、<math>c+a>b</math> より
:<math>a>b-c</math> 
<math>b<c</math> のとき、<math>a+b>c</math> より
:<math>a>c-b</math>
が成り立つ。


2つの定理より、三角形の3辺が <math>a\ ,\ b\ ,\ c</math> であるとき、
:<math>|b-c|<a<b+c</math>
が成り立つことがわかる。(<math>||</math>は絶対値を表す記号。例えば<math>|-2|=2</math>)

逆に、正の数 <math>a\ ,\ b\ ,\ c</math> が不等式 <math>|b-c|<a<b+c</math> を満たすとき、3辺の長さが <math>a\ ,\ b\ ,\ c</math> である三角形が存在する。
:特に、最大のものが<math>c</math>ならば、<math>a+b<c</math> のみを満たせばよい。

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