中等教育前期の数学/代数編/上巻/一次不等式と連立不等式のソースを表示

<small>[[中高一貫校の学習]] >[[中等教育前期の数学・代数編(上)]]> 一次不等式と連立不等式</small>
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==1次不等式==
同じ大きさの量を「=」で結んだ式を方程式と呼ぶことを既に学習した。ここでは、異なった量の大きさの違いを表す記号と、その性質についてまとめる。

ある数A,Bがあるとき、AがBより大きいことを<math>A > B</math>と表し、AがBより小さいこと（AがB未満）を'''<math>A < B</math>'''と表す。ここで、「<math><</math>」と「<math>></math>」のことを[[w:不等号|不等号]]と呼び、このような式を不等式と呼ぶ。また、「<math>\leqq , \geqq</math>」という不等号もあり、「<math>A \leqq B , A \leqq B</math>」は、それぞれ「AがB以下」「AがB以上」という意味で、「<math>A<B , A>B</math>」に、A=B、つまり、AとBが等しい値である場合をふくんだものである。なお、国際的には「<math>\le , \ge</math>」を使うことがある。



*例
<math>x>7</math>という不等式があるとき、xは7より大きい数である。また、<math>x \geqq 7</math>の時には、xは7以上の数である。

不等式では等式と同じように、両辺に演算をしても不等号の関係が変わらないことがある。例えば、両辺に同じ数を足しても、両辺の大小関係は変化しない。ただし、両辺に負の数をかけたときには、不等号の向きが変化することに注意が必要である。これは、負の数をかけると両辺の値は、0を中心に数直線を折り返した地点に移されることによる。

{| style="border:2px solid greenyellow;width:80%" cellspacing=0
|style="background:greenyellow"|'''不等式の性質'''
|-
|style="padding:5px"|1. <math> a<b </math>ならば、<math> a+c<b+c </math>，<math> a-c<b-c </math>
|-
|style="padding:5px"|2. <math> a<b </math>，<math> c>0 </math>ならば、<math> ac<bc </math>，<math> \frac {a} {c} < \frac {b} {c}</math>
|-
|style="padding:5px"|3. <math> a<b </math>，<math> c<0  </math>ならば、<math> ac>bc</math>，<math> \frac {a} {c} > \frac {b} {c}</math>
|}

*例
<math>x > y</math>が成り立つときには、<math>x+3>y+3</math>、<math>4x > 4y</math>も成り立つ。また、<math> -x < -y</math>が成り立つ。

不等式の性質を使って
:<math>
 a {\color{red}+3}<b\;
</math>
の両辺から3を引くと
:<math>
 a+3-3<b-3\;
</math>
よって
:<math>
 a<b {\color{red}-3}\;
</math>
となる。<br>
このように、'''不等式でも移項することができる'''。

*問題
次の不等式を解きなさい。
#<math>3x-1 \leqq 9x-7</math>
#<math>3(x-2)>2(5x-3)</math>
#<math>x+1 < \frac {x-1} {3}</math>
*解答
#<math>\begin{align} \quad
3x-1  & \leqq 9x-7\\
3x-9x & \leqq -7+1\\
-6x   & \leqq -6\\
x     & \geqq 1
\end{align}
</math>
#<math>\begin{align} \quad
3(x-2) & > 2(5x-3)\\
3x-6   & > 10x-6\\
3x-10x & > -6+6\\
-7x    & > 0\\
x      & < 0
\end{align}
</math>
#<math>\begin{align} \quad
x+1  & < \frac {x-1} {3}\\
3x+3 & < x-1\\
3x-x & < -1-3\\
2x   & < -4\\
x    & < -2
\end{align}
</math>

== 不等式と数直線 ==
<gallery>
xは3より大きい.png|'''図1'''
xは3より小さい.png|'''図2'''
xは3以上.png|'''図3'''
xは3以下.png|'''図4'''
</gallery>
<math>x>3,x<3,x \geqq 3,x\leqq3</math>は、数直線上では図1,2,3,4のようにあらわすことがある。


==連立不等式==
いくつかの不等式を組み合わせたものを'''連立不等式'''といい、これらの不等式を同時に満たす<math>x</math>の値の範囲を求めることを、連立不等式を'''解く'''という。
<br>
<br>
*問題例

**問題
次の連立不等式を解きなさい。

(i)
:<math>\left\{ \begin{matrix} x+2<2x+4 \\ 10-x \geqq 3x-6  \end{matrix}\right.</math>
(ii)
:<math>\begin{cases}
     x \geqq 1-x\\
     2(x+1)>x-2
\end{cases}</math>

**解答
(i)<br>
<math>x+2<2x+4</math>から　<math>-x<2</math><br>
:<math>x>-2</math>……(1)
<math>10-x \geqq 3x-6</math>から　<math>-4x \geqq -16</math><br>
:<math>x \leqq 4</math>……(2)
(1),(2)を同時に満たす<math>x</math>の値の範囲は
[[File:xは-2より大きく4以下.png|200px|thumb]]
右の図のように、2つの範囲が重なるところを探すと
:<math>-2<x \leqq 4</math>
(ii)<br>
<math>x \geqq 1-x</math>から　<math>2x \geqq 1</math><br>
:<math>x \geqq \frac {1} {2}</math>……(1)
<math>2(x+1)>x-2</math>から　<math>2x+2>x-2</math><br>
:<math>x>-4</math>……(2)
(1),(2)を同時に満たす<math>x</math>の値の範囲は
:<math>x \geqq \frac {1} {2}</math>

=== <math>A<B<C</math>の形の連立不等式 ===
<math>A<B<C</math>の形の連立不等式は、
::<math>\left\{ \begin{matrix} A<B \\ B<C  \end{matrix}\right.</math>
:の形に直して解く。

::<math>\left\{ \begin{matrix} A<B \\ A<C  \end{matrix}\right.</math>や、<math>\left\{ \begin{matrix} A<C \\ B<C  \end{matrix}\right.</math>
:とはしない。


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