中学数学2年 1次関数のソースを表示

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== 関数の基礎※中1の範囲 ==
まず、関数（かんすう）とはどういうものなのかというと、2つの変数 <math>x,y</math>があって、'''<math>x</math>の値を決めると、それに対応する<math>y</math>の値が1つだけ決まる'''とき、この関係を '''<math>y</math>は<math>x</math>の関数である''' という。


=== 関数とは ===
たとえば、一日の気温の変化を1時間ごとに観測した折れ線グラフを考えよう。このとき、xを時刻、yを気温とすれば、xの値を決めるとそれに対応するyの値が1つだけ決まる。

このように、xの値を決めるとそれに対応するyの値が1つだけ決まる場合、2数xとyの関係を'''yはxの関数である'''あるいは'''xの関数y'''という。

関数とは何かについて、さきほど「xの値を決めるとそれに対応するyの値が1つだけ決まる」と説明したが、実はこの決まりさえ守れば、yがxを計算して求めることができなくても、yはxの関数である。（たとえば、気温の値yは、時刻xから計算して求めることはできない。）

このように「xの値を決めるとそれに対応するyの値が1つだけ決まる」とだけ関数の要件を決めておくことにより、xの文字式であらわせないものであっても、必要に応じて関数として利用できるので、活用しやすくなる。

また、この気温の折れ線グラフの例からも分かるように、関数は折れ線であってもいいし、yの値がxの文字式であらわせなくてもいい。ただし、中学校で学ぶ関数のほとんどは、yの値がxの文字式で表され、xの値を文字式に代入することで、対応するyの値を計算して求めることができるような関数を扱う。この文字式を、関数の'''関係式'''と呼ぶ。そして中学数学では、関係式の持つ形によって関数を分類し、それぞれの特徴について学習する。

関数のうち、正比例や反比例などの比例関係は、小学校ではxの値の変化に伴うyの値の挙動で捉えたが、中学数学ではそれぞれの持つ関係式の形によって理解する。

なお、中学二年で習う「一次関数」とは、yの値がxの一次式で表せる場合である。

=== 関数の変域 ===
気温の折れ線グラフでは、気温を測定してない時間帯には、当然、関数が存在しない。

たとえば、その日の朝6時から夕方5時まで気温を測定したら、そのあいだの時間だけが、関数の値が存在する時間帯である。

この、気温グラフで気温測定した時間帯のように、関数の値が存在する変数の領域のことを{{ruby|'''変域'''|へんいき}}という。

なお、関係式を持つ関数にも、変域が考えられる場合がある。

たとえば、反比例の式の関数
 <math>y=\frac{1}{x} </math>
では、x＝0 は、変域から除いて考える(どんな数も0では割れない)。



一次式であらわせる式でも、文章題などの応用問題では変域が存在する。
たとえば
 窓があります。窓の高さは90 cmとします。窓を x cmあけたときの、あけられた部分の面積 y （単位はcm<sup>2</sup>とする）は、いくらでしょうか？
という問題では、
 <math>y = 90x</math>
と式で表せるが、
窓のあけられた長さを0よりも小さくはできないし、窓の可動範囲までしか窓を開けないので、xに上限も存在する。

=== さいごに ===
中学1年で習う『関数』の単元は入門的な内容であるが、それまで小学算数では変数の値の変化のようすとして捉えていた「比例」や「反比例」を関係式を使って捉え、対応表やグラフで表すことを学び、関係式に現れる比例定数の値と変化のようすの関連づけたり、負数の領域も含めた変化のようすやその意味付けを理解するなど、後の学年で学ぶ様々な関数の扱い方の基礎を学ぶ意味で、たいへん重要である。

最終的に、読者が中学高校の数学で習う関数の理論は、yがxの一次式、二次式、あるいはそれより高次の関係式で表されたり、xの値がどの領域にあるかによって複数の関係式を使い分けたり、yの値の変化をxの多項式によらず、新たな関数として定義したりする考え方をあつかう理論である。

== ※ 下記から中2の範囲 ==

=== 一次関数 ===
==== 一次関数とは？ ====

xとyの関係を式で表したときに、<math>y=2x</math> とか、<math>y=4x+3</math>などのように'''yの値がxの一次式の値で表せる'''とき、yはxの{{ruby|'''一次関数'''|いちじ かんすう}}である、という。

xの一次関数y は一般に、
:<math>y = ax + b</math>（<math>a \ne 0</math>、<math>a,b</math> は定数）
という式で表される。

[[File:Intercept b of linear function ax+b.svg|thumb|]]
そして一次関数の関係式 <math>y = ax + b</math> に現れる定数 <math>a</math> を'''xの'''{{ruby|'''係数'''|けいすう}}といい、<math>b</math> を {{ruby|'''定数項'''|ていすうこう}}という。

xの係数<math>a</math>は、xの値が増加することによって、yの値がxの増加量の何倍増えるのかを表しており、これを一次関数の{{ruby|'''変化の割合'''|へんか の わりあい}}と呼ぶ。この値はyの増加量を対応するxの増加量で割って得た割合に等しく、またxが+1だけ増加する際にyの値がどれだけ変化するかを表している。定数<math>a</math>が正の値であれば、yの値はxの増加にともなって増加するためグラフは右上がりになり、負の値であれば、yの値はxの増加にともなって減少するためグラフは右下がりとなる。グラフがどちらの向きに、どれだけの傾き具合になるか、定数<math>a</math>の値に従うため、定数<math>a</math>を'''グラフの'''{{ruby|'''傾き'''|かたむき}}とよぶ。

一次関数の関係式に現れる定数項 <math>b</math> は、<math>x=0</math> に対応するyの値に他ならない。これを一次関数の{{ruby|'''初期値'''|しょきち}}と呼ぶ。関数のグラフを描くとき、
グラフは <math>y=b</math> でy軸を横切る。そこで定数<math>b</math>のことを、y軸上の{{ruby|'''切片'''|せっぺん}} あるいは単に {{ruby|'''y切片'''|わい せっぺん}}とよぶ。中学数学で'''切片'''といえば'''y切片'''のことを指すが、将来的には'''x切片'''や'''z切片'''も考えられるので注意しよう。

ここで特に、<math>b=0</math> のとき、この場合の一次関数の関係式は
:<math>y = ax</math>
となり、これは比例の式に他ならない。そこで比例は、一次関数 <math>y = ax+b</math> において、<math>b=0</math> となった場合である、一次関数の特殊な例だと考えられる。一次関数 <math>y = ax + b</math> のグラフの傾きは、比例 <math>y = ax</math> の傾きと等しく、両者のグラフは平行線を描く。一次関数 <math>y = ax + b</math> のグラフは、比例 <math>y = ax</math> のグラフを y軸正の向きに<math>b</math> だけ平行移動したものとなる。


一方、反比例の場合、一般式は
:<math>y = \frac a x</math>
であり、これはyがxの一次式で表されていないから、一次関数の一種とは考えられない。

==== 一次関数のグラフ ====
[[File:Linear function Y=2x+3.svg|thumb|right|300px|1次関数 <math>y</math>=''2x''+''3''のグラフ]]

一次関数のグラフがどんなものか考えてみよう。

 問題
      <math>y = 2x + 3</math> のグラフを書きなさい。

グラフを書くために、まずは<math>x</math> の値に応じて<math>y</math> の値がどう変化するのか調べる。対応表を書いて調べると、

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! <math>x</math>
|……|| -3 || -2 || -1 || 0 || 1 || 2 || 3 ||……
|----
! <math>y</math>
|……|| -3 || -1 || 1 || 3 || 5 || 7 || 9 ||……
|}

これをグラフ用紙の上にとっていくと、全ての点は直線に乗っていることがわかる。xの値をもっと細かく、連続的に変化させると、グラフはひとつながりの線となって、直線を描く。


まず、<math>y</math> 軸とは(0,3)で交わっている。

なお、この例からも分かるように、
 一次関数<math>y=ax+b</math>の定数項 b は、グラフで考えたさいの一次関数の直線とy軸との交点のy座標である。


[[File:Parallel shift Y=2x.svg|thumb|300px|]]
また、グラフの傾きから分かるように、<math>y=ax</math> の傾きと同じである。つまり、一次関数 <math>y=ax+b</math> と <math>y=ax</math> とは平行である。

つまり、
 一次関数 <math>y=ax+b</math> のグラフは、原点を通る直線<math>y=ax</math>の傾きと平行で、切片の座標(0,b)を通る直線である。
と言える。
または、
 一次関数 <math>y=ax+b</math> のグラフは、原点を通る直線のグラフ <math>y=ax</math>をy軸の正の向きに bだけ移動した直線である。
とも言える。

{{-}}
また、右図のように、傾きの数aだけ、xが1増えたときにyもa増える。
[[File:Diagram of gradient of linear function graph.svg|thumb|300px|]]
関数において、xの値(定義域)が変化したとき、yの値(値域)も変化しますが、このときyの変化量をxの変化量で割ったものを'''変化の割合'''といいます。一次関数<math>y=ax+b</math>において、変化の割合は<math>a</math>(直線の傾き)となります。
たとえば、一次関数<math>y=3x+1</math>において、xの値が-2から5まで変化したとき、yの値はx=-2のとき-5で、x=5のとき、y=16なので、yの値は-5から16となる。よってxの変化量は7で、yの変化量は21なので、変化の割合は<math>\frac{21}{7}=3</math>となります。これは、この一次関数の傾きと等しいですね。

== ※ 範囲外: なぜ「関数」という概念が必要か？ ==
{{コラム|※ 範囲外: なぜ「関数」という概念が必要か？|

なぜ、「比例」という概念をそのまま使わずに、わざわざ「一次関数」という概念を用いるのだろう？


まず、上述したように、気温のグラフなど比例であらわせないグラフも関数であるので、「関数」という考えかたは必要である。



[[ファイル:Polynomialdeg 2.svg|thumb|200px|二次関数のグラフ]]
それとは別に、読者は「一次関数」という名前から予想すると思うが、じつは数学には「二次関数」や「三次関数」という関数もある。（※ 「二次関数」以降の計算式を習う学年は高校なので（2017年現在では）、中学生はまだ覚えなくていい。）

なお、二次関数の一般式は
:<math>f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \ne 0)</math>
である。

二次関数の式やグラフからも分かるように、二次関数はもはや比例式ではない。

高校では、数学や理科などで、二次関数のように、比例的でない関数がたくさん登場する。

二次関数の計算は、高校生ですら、なかなか難しい。中学生は、まず一次関数の性質と計算法を勉強する必要がある。

右の二次関数のグラフを見れば分かるように、曲がっている図形をあらわす場合、二次関数を使うことになる場合もある。

}}



== 方程式と関数 ==
=== 2元1次方程式の解が形作る図形 ===
2つの文字x , yを含む2元1次方程式 <math>x+2y=2</math> を考える。

この方程式の表は次のようになる。
{| class="wikitable"
|- style="text-align:center"
! <math>x</math>
|<math>\cdots</math>
| -3
| -2
| -1
|0
|1
|2
|3
|<math>\cdots</math>
|-
!<math>y</math>
|<math>\cdots</math>
|<math>\frac{5}{2}</math>
|2
|<math>\frac{3}{2}</math>
|1
|<math>\frac{1}{2}</math>
|0
|<math>- \frac{1}{2}</math>
|<math>\cdots</math>
|}
<math>x+2y=2</math> を成り立たせるx , yの値の組は無数にある。この x , y の値の組を座標とする点を座標平面上にとると、その点が形作る図形は、直線になっており、ちょうど一次関数のグラフと同じ形になっている。

また、<math>x+2y=2</math> をyについて解くと <math>y = - \frac{1}{2} x + 1</math> となり、一次関数の関係式と同じ形になっていることからも、方程式の解が形作る図形は、一次関数のグラフの形と同じ直線であることが分かる。

よって、方程式 <math>x+2y-2=0</math> の解が成す図形は、傾きが<math>- \frac{1}{2}</math>、切片が1の直線になる。<br>この直線は '''方程式 <math>x+2y=2</math> の解''' を図示したものである。


このように、2元1次方程式は、一次関数と同様の計算手法で扱うことができる。また、2元1次方程式のグラフは、方程式を変形して一次関数の関係式と見なすことで、解を表す直線の傾きと切片を容易に求めることができる。

=== 方程式  <math>y=k</math>  の解が座標平面上に描く図形 ===
[[File:Y=3.svg|300px|right]]
方程式 <math>y=k</math> の解は、右図のようになる。


なぜなら、この方程式 y=3 を満たすxとyの解の組み合わせは、
:・・・(ー1,3), (0,3), (1,3), (2,3), (3,3), (4,3),・・・
と無数にあり、それらの点のある位置は、右図のように、x軸に平行で、y軸正の向きに原点から3だけx軸を移動させた直線の上にあるからである。


一般に、方程式 <math>y=k</math> の解は、点 <math>(0\ ,\ k)</math> を通り、x軸に平行な直線で図示される。

この方程式 <math>y=k</math> は、2元1次方程式 <math>ax+by=c</math> において、 <math>a=0</math> となった場合の特殊な例と考えてよい。


一方、<math>y=k</math> には、xが含まれていないが、x の値を何に決めようとお構いなく、そのとき yの値が ただひとつ <math>k</math> に決まるため、このyは、xの関数と考えてよい。
一次式 <math>ax+b</math> で x の係数 <math>a</math> が 0 になることは、xの一次式では認められないため、これは一次関数の一種とは認められないが、中3数学で学ぶ「いろいろな関数」では「継ぎはぎ関数」とよばれる関数の構成要素として現れるため、この x軸と平行に伸びるグラフの形と、yの値が全く変化しない様子は「定数関数」の名とともに、記憶にとどめておこう。

=== 方程式  <math>x=h</math>  の解が座標平面上に描く図形 ===
[[File:X=2.svg|thumb|300px|]]

方程式 <math>x=2</math> の解は、右図の図形を描く。

なぜなら、この方程式をみたすxとyの組み合わせ (x,y) は、
:・・・（2,ー1) ,(2,0) ,(2,1) ,(2,2) ,(2,3) ,・・・

のようになるからである。


一般に、方程式 <math>x=h</math> の解は、座標平面上で点 <math>(h\ ,\ 0)</math> を通り、y軸に平行な直線で図示される。

<math>x=h</math> は、2元1次方程式 <math>ax+by+c=0</math> で <math>b=0</math> となった場合の特殊な例と考えてよい。

一方、座標平面上の図形を見てもわかる通り、ひとつのx の値に対して、あらゆる yの値が対応しているため、このようなグラフを持つような関数は考えられない。

== 直線の式を求める ==
=== 傾きと切片が分かっている場合 ===
;例題
:傾きが-3、切片4の直線の式を求めなさい。

これは、一次関数の関係式 <math>y=ax+b</math> に、xの係数 <math>a=-3</math>,
定数項 <math>b=4</math> を代入して、
:直線の式 <math>y=-3x+4</math>
を得ます。


=== 傾きと通過する1点が分かっている場合 ===
;例題
:傾きが2で、(3,7)を通る一次関数の式を求めなさい。

;一次関数の関係式を使う

これは、一次関数の関係式 <math>y=ax+b</math> に、xの係数 <math>a=2</math> を用いて
:<math>y=2x+b</math>
この式に <math>x=3</math> を代入したとき、<math>y=7</math> となるように

定数項<math>b</math>の値を定めて、<math>b=1</math>

これより、求める直線の式は,
:<math>y=2x+1</math>

;比例の関係式を使う

(3,7)を代入したとき、(0,0)になるように <math>x-3,y-7</math>  を作っておく。

これが、比例定数2の比例になるように式を組んで。

:<math>y-7=2(x-3)</math> この式を変形整理して、求める式は,
:<math>y=2x+1</math>

=== 通過する2点が分かっている場合 ===
;例題
:2点 (-3,8),(1,-4) を通る直線の式を求めなさい。


;連立方程式を使う
点の座標を<math>(x,y)</math>に代入して連立方程式を作ると、
:<math>\left\{\begin{matrix} -3a+b=8 \\ a+b=-4 \end{matrix}\right.</math>
これを解いて、
:<math>(a,b) = (-3,-1)</math>
よって、求める直線の式は、
:<math>y=-3x-1</math>


;傾きと通過する1点から求める
xが+4 増加する間の yの増加量は-12 であることから、変化の割合は-3
:<math>y=-3x+b</math>
この式に <math>x=1</math> を代入したとき、<math>y=-4</math> となるように
定数項<math>b</math>の値を定めて、<math>b=-1</math>

これより、求める直線の式は,
:<math>y=-3x-1</math>

== 連立方程式と解の直線 ==
二元一次方程式を連立して作る、二元一次連立方程式の解の意味を考えよう。

次の方程式を例に考えよう。
:<math>\begin{cases} 4y+3x=3   \qquad \cdot  \cdot  \cdot(1) \\ 3x-y=2  \qquad \cdot  \cdot  \cdot(2) \end{cases}</math>


[[File:Intersection point of two linear functions.svg|right|300px|]]

まず式(1)をyについて解くと <math>y = -\frac{3}{4}x +3</math> に変形できる。

   式(2)をyについて解くと <math>y = 3x-2</math> に変形できる。

それぞれ、一次関数の関係式と考えて直線のグラフを描き、右のグラフを得る。

一次関数をどうしの線どうしの交点は、それに対応する連立方程式の解になる。

== 関数の利用 ==



[[Category:中学校数学|2ねんせい すうりよう いちしかんすう]]
[[カテゴリ:関数]]