中学数学1年空間図形のソースを表示

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小学校では直方体・立方体・円柱の勉強をしてきましたが、空間図形（くうかんずけい）には他にもさまざまなものがあります。ここではそれらの性質について学習しましょう。

== 様々な立体編 ==
=== 錐体 ===
底面が1つだけで、底面の各頂点から出る辺が全て1点で交わる立体を'''錐'''（すい）あるいは錐体（すいたい）といいます。たとえば、'''角錐'''（かくすい）や'''円錐'''（えんすい）があります。「錐」という漢字は、木材に穴を開けるために使う「きり」を意味する漢字です。きりのように先が尖った（とがった）立体なので錐体といいます。

==== 角錐 ====
底面が三角形の錐体を三角錐（さんかくすい）といい、底面が四角形の錐体を四角錐（しかくすい）、…などといいます。
角錐の底面の形が、たとえ三角形でも四角形でも五角形でも、角錐の側面の形は必ず三角形です。

==== 円錐 ====
底面が円である円錐の側面を切り開くと扇形（おうぎがた）になります。

=== 多面体 ===
いくつかの平面で囲まれている図形を '''多面体'''（ためんたい） といいます。面の数によって、面が4個なら四面体（しめんたい）といい、面が5個なら五面体（ごめんたい）と言います。
==== 正多面体 ====
全ての面が合同な正多角形で、1つの頂点に集まる面の数が全て同じ多面体を '''正多面体'''（せいためんたい） といいます。以下の5種類があります。この5種類以外にはありません。
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* 正四面体
[[File:120px-Tetrahedron-slowturn.gif|thumb|正四面体]]
同じ大きさの正三角形が4個集まってできた立体です。三角錐のうちの、すべての辺の長さが等しいものでもあります。

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* 正六面体
[[ファイル:120px-Hexahedron-slowturn.gif|thumb|正六面体]]
同じ大きさの正方形が6個集まってできた立体です。立方体ともいいます。

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* 正八面体
[[ファイル:120px-Octahedron-slowturn.gif|thumb|正八面体]]
同じ大きさの正三角形が8個集まってできた立体です。すべての辺の長さが等しい正四角錐2つの底面をぴったりと重ねたものです。

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* 正十二面体
[[ファイル:120px-Dodecahedron-slowturn.gif|thumb|正十二面体]]
同じ大きさの正五角形が12個集まってできた立体です。

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* 正二十面体
[[ファイル:120px-Icosahedron-slowturn.gif|thumb|正二十面体]]
同じ大きさの正三角形が20個集まってできた立体です。
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{| border
! 名前 !! 面の形 !! 頂点に集まる面の数 !! 頂点の数 !! 辺の数
|-
| 正四面体 || 正三角形 || 3 || 4 || 6
|-
| 正六面体（立方体） || 正方形 || 3 || 8 || 12
|-
| 正八面体 || 正三角形 || 4 || 6 || 12
|-
| 正十二面体 || 正五角形 || 3 || 20 ||30
|-
| 正二十面体 || 正三角形 || 5 || 12 ||30
|}

 
{{コラム|正多面体が5種類しかない理由|　
正多面体は合同な正多角体が1つの頂点に同じ数ずつ集まったものです。<br>
まず、正三角形を1つの頂点に同じ数ずつ集めた立体を考えよう。<br>
正三角形を1つの頂点に2つずつ集めても立体にはならない。<br>
正三角形を1つの頂点に3つずつ集めると正四面体になる。<br>
正三角形を1つの頂点に4つずつ集めると正八面体になる。<br>
正三角形を1つの頂点に5つずつ集めると正二十面体になる。<br>
正三角形を1つの頂点に6つずつ集めると、平面になってしまい、立体にならない。（正三角形の1つの角は60°だが、6つ集めると360°になり、平面になる。）<br>
正三角形を1つの頂点に7つ以上集めると、平面どころか、正三角形が重なってしまう。

次は正方形。<br>
正方形を1つの頂点に2つずつ集めても立体にはならない。<br>
正方形を1つの頂点に3つずつ集めると正六面体になる。<br>
正方形を1つの頂点に4つずつ集めると、平面になってしまい、立体にならない。（正方形の1つの角は90°だが、4つ集めると360°になり、平面になる。）<br>
正方形を1つの頂点に5つ以上集めると、平面どころか、正方形が重なってしまう。

今度は正五角形。<br>
正五角形を1つの頂点に2つずつ集めても立体にはならない。<br>
正五角形を1つの頂点に3つずつ集めると正十二面体になる。<br>
正五角形を1つの頂点に4つ以上集めると、平面どころか、正五角形が重なってしまう。（正五角形の1つの角は108°だが、4つ集めると432°になり、360°より大きくなる。）

そして正六角形。<br>
正六角形を1つの頂点に2つずつ集めても立体にはならない。<br>
正六角形を1つの頂点に3つずつ集めると、平面になってしまい、立体にならない。（正六角形の1つの角は120°だが、3つ集めると360°になり、平面になる。）<br>
正六角形を1つの頂点に4つ以上集めると、平面どころか、正六角形が重なってしまう。<br>


これ以降は、正多面体ができない。<br>
このように考えると、正多面体は、ここで挙げた5種類しかないことがわかる。
}}

== 立体の見方 ==
立体を普通に見えるように描いた図を '''見取り図'''（みとりず） と言い、立体の面をダンボールの箱を崩すように開いて平面にしたものを '''展開図'''(てんかいず) と言います。四角錐の展開図を書いてみましょう。底面が四角形で、側面が三角形ですから、中心が四角形で、四角形の各辺に三角形の底辺がくっついた図を書けばいいのです。

角柱や円柱は、1つの多角形や円を、その面に垂直な方向に積み重ねてできた立体と考えられます。

平面を回転させたとき、その通り道の全体となるような立体を '''回転体'''（かいてんたい） といい、そのときの軸を '''回転の軸'''（かいてんのじく） といいます。たとえば、二等辺三角形、長方形、円はすべて線対称な平面図形ですが、それぞれ対称軸を回転の軸として回転させると、円錐、円柱、球ができます。ですから、円錐、円柱、球はすべて回転体です。

== 平面や直線の位置関係 ==
=== 空間にある二直線の位置関係 ===

平らに限りなく広がっている面を、'''平面'''（へいめん）と言います。空間に直線ABと、AB上にない点Cがあるとき、ABCをすべて通る平面はただひとつあります。

空間にある2本の直線ℓの位置関係は、かならず次の3通りのうちの、どれか1つになる。（※ 図では補助的に平面を追加してあるが、しかし平面と直線の位置関係は、この話題では考えてない。）

{{-}}
[[File:Skew and parallel lines in space japanese.svg|700px|]]
{{-}}

また、同じ空間内にある2本の直線が、交わらず、平行でもないとき、その2直線は、'''ねじれの位置'''にある、と言います。

=== 空間にある直線と平面の位置関係 ===
空間にある1本の直線ℓと1枚の平面Pの位置関係は、かならず次の3通りのうちの、どれか1つになる。

[[File:Line and plane relationship in space.svg|700px|]]


直線ℓと平面Pが交わらないとき、直線ℓと平面Pは'''平行'''であるといい
:ℓ//P
と書く。

----
[[File:Perpendicular line and plane.svg|right|400px|]]
直線ℓが平面と交わり、ℓが平面との交点Aを通るP内のほかのどの直線にとも垂直であるならば、 直線ℓは平面Pに垂直である といい、
:ℓ⊥P
であらわす。
また、直線ℓを平面Pの '''垂線''' （すいせん）という。


ある線mが平面P内の二直線と垂直であることを確認できれば、その線mは平面Pと垂直である。

{{-}}
----
;点と平面の距離
[[File:Distance point and plane.svg|300px|right|]]

ある点と平面の距離は、右図のように、その点から平面に向かって線を垂直になるように、まっすぐにおろした線分の長さである。

右図の場合、線分AHの長さのことを '''点Aと平面Pの距離'''という。

図のように、線AHと平面Pは垂直なので、
:AH⊥P
とあらわせる。

また、線分AHの長さは、点Aと平面P上のほかのどの点をむすぶ長さよりも短い。

:※ 図中に「H」とあるが、点と平面との距離にかぎらず、一般にある垂線とほかの線や面との交点をあらわすのに、慣習的によく「H」という文字を使うことも多い。べつにHで書かなくてもよく、BやCなど他の文字でもいい。

=== 二平面の位置関係 ===
二つの平面がある場合には、かならず下図の二通りのうちのどちらかになる。

[[File:2 planes position relation japanese.svg|600px|]]


(イ)のように、平面Pと平面Qが交わらないとき、平面PとQは'''平行'''である といい、
:P//Q
で表す。

PとQが交わるときは、その交わりはかならず直線である。PとQが交わる部分の直線のことを '''交線''' （こうせん）という。


;例
[[File:Parallel 2 planes and Intersection.svg|300px|right|]]

平行な2平面に別の平面が交わってできる2本の交線どうしは、平行である。

つまり、右図の場合、
:P//Q ならば l//m
である。

{{-}}
----
[[File:Perpendicular 2 plane.svg|300px|right|]]

平面Pと平面Qがあって、平面Qに垂直な線[[File:Cursive l for mathematics.svg|12px|]]を平面Pがふくんでいるとき、平面Pと平面Qは'''垂直'''であるといい,
:P⊥Q
であらわす。

{{-}}
----
[[File:2 planes distance.svg|300px|right|]]
平面Pと平面Qが平行のとき（P//Q）、右図にのように、二平面の間の距離は、平面上のどの点を取っても一定である。右図の場合、どの点を取っても、線分ABの長さと同じになる。

この距離を、二平面P,Q間の'''距離''' （きょり）という。
{{-}}

== 面積 ==
立体の表面の面積を'''表面積'''（ひょうめんせき）といい、側面の面積を'''側面積'''（そくめんせき）といい、底面の面積を'''底面積'''（ていめんせき）といいます。

== 体積 ==
角柱または円柱の底面積をS、高さをh、体積をVとすると、

<math>V=Sh</math>

と表わされます。

また、錐体の体積は、

<math>V=\frac{1}{3}Sh</math>

と表されます。

== 投影図 ==
[[File:Projection of triangular prism.svg|thumb|160px|三角柱の投影図]]
立体を1つの方向から見て平面に表した図を'''投影図'''（とうえいず）といい、上から見た投影図を'''平面図'''（へいめんず）といい、正面から見た投影図を'''立面図'''（りつめんず）という。

立体を投影図で表すときには、平面図と立面図を使って表すことが多い。

平面図と立面図とだけでは、その立体の形がよくわからないこともある。このようなときは、横から見た図をつけ加えて表すこともある。

[[Category:中学校数学|1ねんせい すけい りつたいすけい]]
[[カテゴリ:立体図形]]