中学受験算数/立体図形のソースを表示

== 立体図形 ==
=== すい（錐） ===
すい（錐）とは、先がとがっている立体のことです。
==== 角すい ====
底面が多角形になっているすいのことを角すいといいます。角すいの名前は底面の形によって決まります。たとえば、三角形ならば三角すい、四角形ならば四角すい、五角形ならば五角すいといいます。
===== 三角すい =====
[[File:Tetrahedron (PSF).svg|thumb|三角すい]]
底面が三角形で、先が とがっている 立体のことを'''三角すい'''と言います。

三角すいには、面が 4個 あります。
三角すいの頂点は 4個 あります。
三角すいには、辺は 6本 あります。


正四面体の展開図のうち、展開の仕方のひとつは、つぎのようになります。

[[File:Tetrahedron flat.svg]]

もうひとつ、正四面体のべつの展開のしかたがあるのですが、画像が見つからないので、必要なら外部のサイトなどで探してください。

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===== 四角すい =====
[[ファイル:Square pyramid.png|200px|right|thumb|四角{{ruby|錐|すい}}の例。]]
*:底面が四角形で、先が とがっている 立体のことを'''四角すい'''と言います。

四角すいには、面が 4個 あります。
四角すいの頂点は 5個 あります。
四角すいには、辺は 8本 あります。

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==== 円すい ====
[[File:Circle cones 01.png|300px|left|thumb|いろんな、円錐]]
*:カラーコーンのように、底面が円で先がとがっている立体のことを'''円すい'''と言います。
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円すいには、面が 2つ あります。（底面は円の面です。）

円すいの面のうち、底面は円です。

[[Image:KegelNetz.svg|thumb|円すいの展開図]]

円すいの展開図で、扇形の部分の開いている角度を'''中心角''' と言います。

円すいの表面積は、円の面積と、おうぎ形の面積を合わせた合計です。

円すいの側面は、展開すると、おうぎ形になる曲面の部分です。
展開したときの、おうぎ形の半径を {{ruby|母線|ぼせん}} と言います。
ですから、（側面を展開したおうぎ形の弧の長さ）＝（底面の円の円周）となります。<br>
つまり、（母線×2×3.14× 中心角/360 ）＝ （底面の円の半径×2×円周率）です(a/bは、b分のaのことです）。<br>
それぞれを2×3.14でわると、（母線×中心角/360）＝ （底面の円の半径）となります。<br>
側面のおうぎ形の面積は、 母線×母線×円周率×中心角/360 で求められますが、上の「母線×中心角/360 ＝ 底面の円の半径」より、<br>
「底面の円の半径×母線×円周率」という式で求められます。

=== 角錐・円錐の体積 ===
角錐や円錐の体積は、三角錐も四角錐も、どんな角錐や円錐でも、

'''底面積×高さ<math> \times \frac{1}{3} </math>'''

で求められます。

なぜ、角錐の体積の式が、こうなるかの説明は、むずかしいので、このまま式を、おぼえてください。(角錐の体積の求め方は、小学校では習わないため、注意書きで書いてある場合があります[書いていない学校もある]。)

=== 正多面体 ===
全ての面が合同な正多角形で、1つの頂点に集まる面の数が全て同じ多面体を '''正多面体'''といいます。以下の5種類があります。この5種類以外にはありません。
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* 正四面体
[[File:120px-Tetrahedron-slowturn.gif|thumb|正四面体]]
同じ大きさの正三角形が4個集まってできた立体です。三角錐のうちの、すべての辺の長さが等しいものでもあります。

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* 正六面体
[[ファイル:120px-Hexahedron-slowturn.gif|thumb|正六面体]]
同じ大きさの正方形が6個集まってできた立体です。立方体ともいいます。

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* 正八面体
[[ファイル:120px-Octahedron-slowturn.gif|thumb|正八面体]]
同じ大きさの正三角形が8個集まってできた立体です。すべての辺の長さが等しい正四角錐2つの底面をぴったりと重ねたものです。立方体の各面の中心を結ぶことでつくることができます。

{{clear}}
* 正十二面体
[[ファイル:120px-Dodecahedron-slowturn.gif|thumb|正十二面体]]
同じ大きさの正五角形が12個集まってできた立体です。

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* 正二十面体
[[ファイル:120px-Icosahedron-slowturn.gif|thumb|正二十面体]]
同じ大きさの正三角形が20個集まってできた立体です。
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{| border class=wikitable
|+ 正多面体
! 名前 !! 面の形 !! 頂点に集まる面の数 !! 頂点の数 !! 辺の数
|-
| 正四面体 || 正三角形 || 3 || 4 || 6
|-
| 正六面体(立方体)|| 正方形 || 3 || 8 || 12
|-
| 正八面体 || 正三角形 || 4 || 6 || 12
|-
| 正十二面体 || 正五角形 || 3 || 20 ||30
|-
| 正二十面体 || 正三角形 || 5 || 12 ||30
|}

=== 体積比と表面積比 ===
相似比が <math>a:b</math> の2つの相似な立体 <i>P</i> と <i>Q</i> があるとき、
<i>P</i> と <i>Q</i> の体積比は <math>(a \times a \times a):(b \times b \times b) </math>、<br>
<i>P</i> と <i>Q</i> の表面積比は <math>(a \times a):(b \times b)</math><br>
となります。
=== 特別な三角すい ===
辺の比が1:1:2の三角錐のことです。展開図は正方形になります。体積は一辺2の立方体の1/24で、表面積は1/6です。

=== 立体の切断 ===
*切断は平行になります。立方体ならば三〜六角形の切断面ができます。正四面体ならば三〜四角形、正四角錐ならば三〜五角形の切断面となります。
三角柱を切断したものを断頭三角柱と言います。体積は(底面積)×(高さの平均)です。

=== 回転体の体積 ===
パップス＝ギュルダンの定理という公式があります。(図形の重心の移動距離)×(図形の面積)で求められます。ただし、円や正方形など中心がわかりきっているものに限ります。

=== 最短きょり ===
次の問題について考えましょう。
:底面の半径が5cm、母線の長さが30cmである円錐の底面の点Aから、側面を最短きょりで通って点Aにもどってきました。この線の長さは何cmですか。
答え　30㎝

=== 水量の問題 ===
棒を入れる容器の底面積をX㎠棒の底面積をy㎠元の水の深さをz㎝とします。ただしzは棒の長さより明らかに小さいものです。この時棒を容器の底につけると水の深さはy×z÷(X−y)㎝上がります。よって水の深さはX＋y×z÷(X−y)㎝になります。

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