チェザロ平均のソースを表示

数列<math>\left\{a_n\right\}</math>に対して、初項から第n項までの総和をnで割ったもの、即ち
:<math>\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k</math>
を[[w:チェザロ平均]]という。

さて、チェザロ平均について、次の性質が成り立つ。
:<math>a_n \to \alpha \ \Rightarrow \ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k \to \alpha</math>

この結果の数学的利用価値については上記のWikipediaへのリンクを参照してもらうとして、ε-N論法の練習としてこの命題を証明してみよう。

'''証明''' まず、仮定をε-N論法で書き直しておく。
:<math>\forall\varepsilon>0, \exist N\in\mathbb{N}\ (n>N \Rightarrow |a_n-\alpha|<\varepsilon)\cdots(1)</math>
ここで、
:<math>\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k - \alpha\right|</math>
を考えると、
:<math>\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k - \alpha\right|</math>
:<math>=\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k - \frac{n\alpha}{n}\right|</math>
:<math>=\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (a_k - \alpha)\right|</math>
三角不等式を用いて変形すると、
:<math>\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n (a_k - \alpha)\right|\le\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left| a_k - \alpha\right|</math>
となる。
いま、(1)の各εと対応するNに対して、n>Nとして、
:<math>\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \left| a_k - \alpha\right|</math>
:<math>=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^N \left| a_k - \alpha\right|+\frac{1}{n}\sum_{k=N +1}^n \left| a_k - \alpha\right|</math>
::<math><\frac{1}{n}\sum_{k=1}^N \left| a_k - \alpha\right|+\frac{n-N}{n}\varepsilon</math>
:::<math><\frac{1}{n}\sum_{k=1}^N \left| a_k - \alpha\right|+\varepsilon</math>
ここで、任意の実数より大きな自然数が存在するから（これをアルキメデスの原理と言う/アルキメデスの原理は定理である）、
:<math>\frac{1}{\varepsilon}\sum_{k=1}^N \left| a_k - \alpha\right|<M</math>
すなわち
:<math>\frac{1}{M}\sum_{k=1}^N \left| a_k - \alpha\right|<\varepsilon</math>
を満たす自然数Mが存在する。
よって、各εに対して、Nより大きくかつM以上のnで、
:<math>\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k - \alpha\right|<\varepsilon + \varepsilon=2\varepsilon</math>
以上のように、任意の正の実数εに対して、max{N,M}なる自然数が存在して、nがこれより大きいとき、<math>\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k - \alpha\right|</math>がεの定数倍より小さくなるから、
:<math>\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n a_k \to \alpha</math>　■  [[Category:数学|ちえさろへいきん]]