ガロア理論/Galois拡大のソースを表示

;定義([[w:ガロア群|ガロア群]])
体の拡大 <math>K/F</math> に対して、体 <math>F</math> 上の自己同型群を <math>\mathcal{G}(K/F) = \operatorname{Gal}(K/F)</math> と書いて、<math>K/F</math> の '''ガロア群''' という。

;定義
体の拡大 <math>K/F</math> と <math>G(K/F)</math> の部分群 <math>H</math> に対して、その不変体を <math>\mathcal{F}(H) = \{ \alpha \in K : \forall \sigma \in H ( \sigma(\alpha) = \alpha ) \}</math> とする。不変体は <math>K/F</math> の中間体であることに注意。

==== 命題1 ====
体の代数拡大 <math>K/F</math> に対して以下は同値。

(i) <math>K/F</math> は分離かつ正規拡大である<br />
(ii) <math>\mathcal{F}(\mathcal{G}(K/F)) = F</math><br />
(iii) <math> \mathcal{G}(K/F)</math> のある部分群 <math>H</math> で <math>F = \mathcal{F}(H)</math> となるものが存在する<br />
さらに、有限次拡大であれば以下も同値である: <br />
(iv) <math>|G(K/F)| = [K:F]</math>

;証明
(i) ⇒ (ii):<br />
<math>F \subseteq \mathcal{F}(\mathcal{G}(K/F))</math> は自明。逆の包含を示す。<math>\alpha \in K - F</math> を取り、最小多項式を <math>f(X) \in F[X]</math> とする。<math>f(X)</math> の次数を <math>d (>1)</math> とする。[[ガロア理論/正規拡大#命題1]](iii) によって、<math>\alpha = \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_d \in K</math> が存在して <math>f(X) = (X-\alpha_1)\cdots(X-\alpha_d)</math> となる。分離性によって、<math>\alpha_2 \neq \alpha</math> である。<math>F</math> 上の体の同型 <math>\sigma : F(\alpha) \rightarrow  F(\alpha_2), \alpha \mapsto \alpha_2</math> を、[[ガロア理論/代数的閉体#定理2]] によって、ある代数閉包 <math>\overline{K}</math> の自己同型 <math>\sigma: \overline{K} \rightarrow \overline{K} </math> に延長する。このとき、[[ガロア理論/正規拡大#命題1]](ii) によって、<math>\sigma|K \in \mathcal{G}(K/F)</math> である。<math>\sigma(\alpha) \neq \alpha</math> だから、<math>\alpha \not\in \mathcal{F}(\mathcal{G}(K/F))</math> である。

(ii) ⇒ (iii):<br />
自明。

(iii) ⇒ (i):<br />
<math>\alpha \in K</math> の最小多項式を <math>f(X) \in F[X]</math> とする。<math>\sigma \in H</math> に対し <math>f(\sigma(\alpha)) = \sigma(f(\alpha)) = 0</math> だから、<math>\sigma(\alpha)</math> の取りうる値は有限個である。<math>N = \{ \sigma \in H : \sigma(\alpha) = \alpha \}</math> は <math>H</math> の正規部分群であり、<math>h = \sigma N \in H/N</math> に対して <math>h(\alpha) = \sigma(\alpha)</math> は、<math>\sigma</math> の取り方によらない。また、この対応は単射だから <math>H/N</math> は有限群であり、行き先は <math>f(X)</math> の根全体の集合である。…(＊)<br />
<math>g(X) = \prod_{h \in H/N} (X-h(\alpha))</math> は、各 <math>\sigma \in H</math> によって係数が不変である。実際、<math>\sigma</math> は <math>h(\alpha)</math> たちの置換を引き起こすからである。すなわち、係数は <math>\mathcal{F}(H) = F</math> に属するから、<math>g(X) \in F[X]</math> であり、(＊)によりこれは <math>f(X)</math> の次数以下である。したがって、<math>f(X) = g(X)</math> である。このことから、<math>f(X)</math> は分離的であり、かつ <math>K[X]</math> で一次の積に分解されることがわかった。つまり、分離かつ正規拡大である。


最後に、<math>K/F</math> が有限次拡大であるとしよう。[[ガロア理論/分離拡大#命題_1]] と [[ガロア理論/正規拡大#命題1]] をあわせると、分離かつ正規拡大であることと、<math>|\mathcal{G}(K/F)| = [K:F]</math> が同値であることがただちにしたがう。実際、分離性は、
<math>|{\rm Hom}_F(K, \bar{F})| \leq [K : F]</math> の等号が成立することで、正規性は <math> \mathcal{G}(K/F) \subseteq {\rm Hom}_F(K, \bar{F})</math> の等号が成立することを指しているからである。


==== 定義 ====
上の命題の条件を満たす体の拡大を、Galois 拡大という。

;例
*<math>\mathbb{C}/\mathbb{R}</math> は Galois 拡大である。
*<math>\mathbb{Q(2^{1/3})}/\mathbb{Q}</math> は Galois 拡大ではない。なぜなら、<math>2^{1/3}</math> の残り二つの共役元を含まず、正規拡大でないからである。<math>\mathcal{G}(\mathbb{Q(2^{1/3})}/\mathbb{Q}) = 1</math> である。

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