ガロア理論/代数的閉体のソースを表示

== 定義 ==
;定義 ([[w:代数的閉体|代数的閉体]] algebraically closed field)
体 <math>F</math> が'''代数的閉'''(algebraically closed)であるとは、任意の定数でない多項式 <math>f(x) \in F[x]</math> に対して <math>\alpha \in F</math> があって <math>f(\alpha) = 0</math> となることをいう。

;例
*複素数体 <math>\mathbb{C}</math> は代数的閉体である。これは [[w:代数学の基本定理|代数学の基本定理]]と呼ばれる事実である。
*有理数体上代数的である複素数を'''[[w:代数的数|代数的数]]'''という。<math>\bar{\mathbb{Q}}</math> を代数的数全体とすると、これは代数的閉体である。
::(証明) 体であることは[[ガロア理論/代数拡大#定理 6]]から明らか。<math>f(x) \in \bar{\mathbb{Q}}[x]</math> を定数でない多項式として、複素数体 <math>\mathbb{C}</math> が代数的閉体であることから、<math>\alpha \in \mathbb{C}</math> で <math>f(\alpha) = 0</math> となるものがある。この <math>\alpha</math> が実は代数的数であることを示せば良い。
::<math>f(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n</math> として、<math>\alpha</math> は <math>\mathbb{Q}(a_0, \cdots, a_n)</math> 上代数的であり、<math>\mathbb{Q}(a_0, \cdots, a_n)</math> は <math>\mathbb{Q}</math> 上代数的である ([[ガロア理論/代数拡大#系 7]]より) ので、[[ガロア理論/代数拡大#定理 5]]より <math>\alpha</math> は <math>\mathbb{Q}</math> 上代数的である。

==== 命題1 ====
代数的閉体 <math>K</math> について、<math>K[x]</math> の多項式は一次の式に分解される。つまり、任意の多項式が <math>a_0(X-a_1) \cdots (X-a_n)</math> という形である。

;証明
次数に関する帰納法。

== 代数的閉包とその存在性 ==
;定義 ([[w:代数的閉包|代数的閉包]] algebraic closure)
体 <math>F</math> の代数的閉包(代数閉包) <math>\bar{F}</math> とは、<math>F</math> の拡大体であり、かつ代数的閉であるような体のことをいう。

さて、このページで最も重要な定理は次である。

==== 定理2 ====
<math>F</math> を体とする。<br />
(i) <math>F</math> の代数的閉包が存在する。<br />
(ii) <math>K/F, K'/F</math> を代数拡大とし、<math>f : K \rightarrow K'</math> が <math>F</math> 上の体の同型であるとする。また、<math>\bar{K}, \bar{K'}</math> をそれぞれの代数的閉包とする。このとき、同型 <math>\bar{f} : \bar{K} \rightarrow \bar{K'}</math> で <math>f : K \rightarrow K'</math> の拡張になっているものがある。<br />
(iii) <math>F</math> の代数的閉包はみな <math>F</math> 上同型である。<br />
(注) (ii) において、<math>\bar{K}, \bar{K'}</math> はそれぞれ <math>F, F'</math> の代数閉包でもある。

この定理は重要であるが、その証明はガロア理論の本質に関係のあるものではないため、読み飛ばすことを推奨する。

[[カテゴリ:ガロア理論]]
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